|
|
\documentclass[a4paper,12pt,parskip=half]{scrartcl}\input{../env/packages}\input{../env/commands}\input{../env/meta}
\begin{document}
\title{Zusammenfassung MafIA 1}\maketitle
\section*{Vorwort}Dieses Dokument dient zur kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Sätze und Definitionen.Ich füge hier nur nach Lust und Laune Dinge ein, so dass dies in keinster Weise als vollständig oder stets korrekt angesehen werden darf.Die Quelldateien sind öffentlich unter \url{https://git.webschneider.org/uni/sammlung} einsehbar.Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
\tableofcontents\bigskip
\section{Mengenlehre} \subsection{Menge} Eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen zu einem Ganzen
\subsection{Teilmenge} \begin{align} N \subset M \Leftrightarrow M \subset N \end{align}
\subsection{Potzenmenge} Sei \(M\) eine Menge.\\ \(P(M)\) (auch \(2^M\)):= Menge von allen Teilmengen von M. Sei \(l\) die Anzahl der Elemente von \(M\), so ist die Anzahl der Möglichkeiten ist \(2^l\)
\subsection{Schnittmenge} \begin{align} M \cap N := \{x : x \in M \land x \in N\} \end{align} Die Schnittmenge besteht also aus den gemeinsamen Elementen der beiden Mengen. Falls \(M \cap N = \emptyset\) sind, sind M und N \emph{disjunkt}
\subsection{Vereinigung} \begin{align} M \cup N = \{x : x \in M \lor x \in N\} \end{align}
\section{Relationen} Eine Relation ist zunächst eine Teilmenge beliebiger Mengen $M, N$. Man schreibt für ein beliebiges Paar aus $(x,y) \in M \times N$ entweder $xRy$ oder seltener $(x,y) \in R$.
\subsection{Eigenschaften}\label{relation:eigenschaften} Zur Beschreibung einer Relation gibt es folgende Eigenschaften, dazu betrachten wir eine zweistellige Relation $R$ auf $M$:
\begin{tabu}{rX[l]} \textbf{reflexiv} & $\forall x\in M : xRx$, das Element steht also zu sich selbst in Relation.\\ \textbf{symmetrisch} & $\forall x,y \in M$ aus $xRy$ auch $yRx$ folgt. Die Reihenfolge ist also egal.\\ \textbf{transitiv} & $\forall x,y,z \in M$ und $xRy$ und $yRz$ folgt $xRz$.\\ \textbf{antisymmetrisch} & $\forall x,y \in M: xRy \land yRx \Rightarrow x = y$\\ \textbf{total} & $\forall x,y \in M: xRy \lor yRx$, also immer zwei Elemente in Relation stehen \end{tabu}
\emph{Beispiel antisymmetrisch}: $ 3 \le 3 \land 3 \ge 3 \Rightarrow 3 = 3$\\
\subsection{Äquivalenzrelation}\label{relationen:aequivalenz} Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} zutreffen.
\subsection{Ordnungsrelation}\label{relationen:ordnung} Eine Ordnungsrelation ist besitzt die Eigenschaften total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv.
\section{Abbildungen} \subsection{Eigenschaften}\label{abb:eigenschaften} Wir betrachten eine Abbildung $f: M \rightarrow N$.
\begin{tabu}{rl} \textbf{injektiv} & $\forall x,y \in M, x \neq y : f(x) \neq f(y)$\\ \textbf{surjektiv} & $\forall y \in N \exists x \in M : y = f(x)$\\ \textbf{bijektiv} & wenn f injektiv und surjektiv ist \end{tabu}
Dabei bedeutet \emph{injektiv}, dass unterschiedliche Eingaben unterschiedliche Ausgaben zur Folge haben, es wird also kein $y$-Wert zweimal getroffen. Das heißt auch, dass ein $y$-Wert nicht getroffen werden kann.\\ \emph{Surjektiv} hingegen bedeutet, dass es zu jedem Bild ein mindestens Urbild gibt. Ein $y$ kann also durch mehrere $x$ getroffen werden, es gibt jedoch kein $y$, zu dem es keinen $x$-Wert gibt.
\subsubsection{Beweise} Nachfolgend betrachten wir $f: \R \rightarrow \R, x \mapsto mx+b, m\ne 0$.\\ Um die \emph{Injektivität} einer Funktion zu beweisen, nehmen wir die umgekehrte Definition, also $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$. \begin{proof} \emph{Zu zeigen:} $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$\\ Sei $f(x) = f(y)$ mit $x,y \in \R$ beliebig. \begin{align*} f(x) &= f(y)\\ mx+b &= my+b\\ mx &= my\\ x &= y \end{align*} Da $x=y$, ist $f$ injektiv. \end{proof}
Um \emph{Surjektivität} zu zeigen, wird zunächst die Definition von $x$ ermittelt: \begin{align*} f(x) &= y \\ mx+b &= y \\ mx &= y - b \\ x &= \frac{y-b}{m} \end{align*} Diese Definition macht man sich nun im Beweis zu nutze, um $f(x) = y$ für beliebige $y$ zu zeigen: \begin{proof} Sei $y \in \R$ beliebig. Aus vorheriger Berechnung ist bekannt: $x = \frac{y-b}{m}$ \begin{align*} f(x) = f\left(\frac{y-b}{m}\right) = m\cdot \frac{y-b}{m} + b = y - b + b = y \end{align*} Daraus resultiert, dass $f$ surjektiv ist. \end{proof} Da $f$ surjektiv und injektiv ist, folgt auch die \emph{Surjektivität} für $f$.
\section{Zahlen}\label{zahlen} \subsection{Natürliche Zahlen} \subsubsection{Peano-Axiome} Definition der natürlichen Zahlen durch Peano: \begin{enumerate} \item $0 \in \N$ \item es gibt eine Nachfolgerabbildung $succ: \N \rightarrow \N \backslash \{0\}$ \item $succ$ ist injektiv \item Ist $M \subseteq \N$ mit \begin{enumerate}[i.] \item $0 \in M$ \item $m \in M \Rightarrow succ(m) \in M \forall m \in M$ \end{enumerate} so gilt $M= \N$. \end{enumerate}
\subsection{Gruppen}\label{zahlen:gruppen} Eine nichtleere Menge $G$ mit einer Verknüpfung $\circ$ heißt Gruppe, wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen: \begin{enumerate} \item Assoziativität von $\circ$, also $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \; \forall a,b,c \in G$ \item Es existiert ein neutrales Element $e$, für das gilt: $e \in G: a \circ e =a \; \forall a \in G$ \item Zu jedem Element gibt es ein Inverses $a^{-1}$, für das gilt: $a \circ a^{-1} = e$ \end{enumerate} Gilt darüber hinaus die \emph{Kommutativität} \[a \circ b = b \circ a \forall a,b \in G \] heißt die Gruppe abelsch oder kommutativ.
\section{Vektorräume}\label{vektorraum} \subsection{Vektorraum}\label{vektorraum:def} Eine nichtleere Menge $V$ heißt Vektorraum über einem Körper $\K$, wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:\\ \emph{Addition} \begin{alignat}{2} (u + v) + w &= u + (v+w) \;&& \forall u,v,w \in V\\ u + v &= v + u \; && \forall u,v \in V\\ u + 0 &= u \; &&\forall u, v \in V \\ v + (-v) &= 0 \; && \forall v \in V \end{alignat} \emph{Skalarmultiplikation}: \begin{alignat}{2} (\alpha \cdot \beta) \cdot v &= \alpha \cdot (\beta \cdot v )\\ \alpha \cdot (u+v) &= \alpha \cdot u + \alpha \cdot v \\ (\alpha \cdot \beta) \cdot v & = \alpha \cdot(\beta \cdot v)\\ 1 \cdot v &= v \end{alignat}
\subsubsection{Basis} Minimale Menge der Einheitsvektoren\footnote{Ein Vektor der Länge Eins, \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitsvektor}}, mit denen alle anderen Vektoren erzeugt werden können. Die Vektoren untereinander sind linear unabhängig. Beispiel für $\R^2$: \[\left\{\colvec{1}{0},\colvec{0}{1} \right\} \]
\subsection{Untervektorraum}\label{vektorraum:unterraum} Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $\K$. Dann ist $U \subset V$ ein Untervektorraum, wenn gilt: \begin{enumerate} \item $U$ ist nicht leer, also muss mindestens $\colvec{0}{0} \in U$ gelten. \item Die Addition muss abgeschlossen sein. \item Die Skalarmultiplikation muss abgeschlossen sein. \end{enumerate} \subsection{Kombinationen}\label{vektorraum:kombination} Voraussetzungen für die nächsten Definitionen: Seien $v_1, \dots, v_m$ Elemente eines Vektorraums $V$ über einem Skalarenkörper $\K$, und es sei $\alpha := (\alpha_1, \dots, \alpha_m)$ ein m-Tupel aus $\K^m$ für ein $m\in \N \backslash \{0\}$. \subsubsection{Linearkombination} Eine Linearkombination ist eine Vektoraddition, bei der jeder Vektor einer Menge $V$ zunächst mit einem Skalar $\alpha$ multipliziert wird. \[\sum_{j=1}^{m} \alpha_j \cdot v_j \] \subsubsection{Affinkombination} Wenn außerdem gilt, dass die Summe aller Koeffizienten $1$ ergibt, also \[\sum_{j=1}^{m} \alpha_j = 1\] dann spricht man von einer \emph{Affinkombination}. \subsubsection{Konvexkombination} Wenn darüber hinaus $\K = \R$ ist und \[\alpha_j \in [0,1] \; \forall j, 1\le j \le m \] gilt, spricht man von einer \emph{Konvexkombination}. Vergleiche zum Verständnis für Konvex die Definition auf Wikipedia\footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_Menge}}
\vspace{\fill}\doclicenseThis{}\end{document}
|
