Abbildungen

MafIA1/mafia.tex

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-\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
+\documentclass[a4paper,12pt,parskip=half]{scrartcl}
 \input{../env/packages}
 \input{../env/commands}
 \input{../env/meta}
@@ -49,22 +49,45 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
     Man schreibt für ein beliebiges Paar aus $(x,y) \in M \times N$ entweder
     $xRy$ oder seltener $(x,y) \in R$.
 
-    \subsection{Eigenschaften}
+    \subsection{Eigenschaften}\label{relation:eigenschaften}
     Zur Beschreibung einer Relation gibt es folgende Eigenschaften, dazu
     betrachten wir eine zweistellige Relation $R$ auf $M$:
-    \begin{table}[h]
-        \centering\label{relation:eigenschaften}
-        \begin{tabular}{rl}
-            \textbf{reflexiv} & $\forall x\in M $ gilt $xRx$, das Element steht also zu sich selbst in Relation.\\
-            \textbf{symmetrisch} & $\forall x,y \in M$ aus $xRy$ auch $yRx$ folgt. Die Reihenfolge ist also egal.\\
-            \textbf{transitiv} & $\forall x,y,z \in M$ und $xRy$ und $yRz$ folgt $xRz$.
-        \end{tabular}
-    \end{table}
+
+    \begin{tabu}{rX[l]}
+        \textbf{reflexiv} & $\forall x\in M : xRx$, das Element steht also zu sich selbst in Relation.\\
+        \textbf{symmetrisch} & $\forall x,y \in M$ aus $xRy$ auch $yRx$ folgt. Die Reihenfolge ist also egal.\\
+        \textbf{transitiv} & $\forall x,y,z \in M$ und $xRy$ und $yRz$ folgt $xRz$.\\
+        \textbf{antisymmetrisch} & $\forall x,y \in M: xRy \land yRx \Rightarrow x = y$\\
+        \textbf{total} & $\forall x,y \in M: xRy \lor yRx$, also immer zwei Elemente in Relation stehen
+    \end{tabu}
+
+    \emph{Beispiel antisymmetrisch}: $ 3 \le 3 \land 3 \ge 3 \Rightarrow 3 = 3$\\
 
     \subsection{Äquivalenzrelation}\label{relationen:aequivalenz}
-    Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn alle Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften}
+    Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften}
     zutreffen.
 
+    \subsection{Ordnungsrelation}\label{relationen:ordnung}
+    Eine Ordnungsrelation ist besitzt die Eigenschaften total, reflexiv,
+    antisymmetrisch und transitiv.
+
+\section{Abbildungen}
+    \subsection{Eigenschaften}\label{abb:eigenschaften}
+        Wir betrachten eine Abbildung $f: M \rightarrow N$.
+
+        \begin{tabu}{rl}
+            \textbf{injektiv} & $\forall x,y \in M, x \neq y : f(x) \neq f(y)$\\
+            \textbf{surjektiv} & $\forall y \in N \exists x \in M : y = f(x)$\\
+            \textbf{bijektiv} & wenn f injektiv und surjektiv ist
+        \end{tabu}
+
+        Dabei bedeutet \emph{injektiv}, dass unterschiedliche Eingaben unterschiedliche
+        Ausgaben zur Folge haben, es wird also kein $y$-Wert zweimal getroffen.
+        Das heißt auch, dass ein $y$-Wert nicht getroffen werden kann.\\
+        \emph{Surjektiv} hingegen bedeutet, dass es zu jedem Bild ein mindestens Urbild gibt.
+        Ein $y$ kann also durch mehrere $x$ getroffen werden, es gibt jedoch kein
+        $y$, zu dem es keinen $x$-Wert gibt.
+
 \section{Vektorräume}\label{vektorraum}
     \subsection{Vektorraum}\label{vektorraum:def}
         Eine nichtleere Menge $V$ heißt Vektorraum über einem Körper $\K$, wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:\\

env/packages.tex

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 \usepackage{hyperref}
 \usepackage{stmaryrd}
 \usepackage{enumerate}
+\usepackage{tabu}