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DiMa/dima.tex

@@ -17,6 +17,19 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
 \tableofcontents
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+\section{Abbildungen}
+    Man beachte auch das \href{https://git.webschneider.org/uni/sammlung/src/master/MafIA1/mafia.pdf}{Mafia-Skript}.
+
+    \subsection{Kompositionen}
+    Kompositionen von Funktionen sind \emph{assoziativ}.
+
+    Sei $f: X \rightarrow Y$ eine Funktion:
+    \begin{enumerate}[i.]
+        \item $f $ ist injektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $g \circ f = id_x$
+        \item $f$ ist surjektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $f \circ g = id_y$
+        \item $f$ ist bijektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $g \circ f = id_x, f \circ g = id_y$
+    \end{enumerate}
+
 \section{Kombinatorik}
     \subsection{Binomialkoeffizient}\label{kombi:binomial}
     Der \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient}{Binomialkoeffizient}

MafIA1/mafia.tex

@@ -88,6 +88,72 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
         Ein $y$ kann also durch mehrere $x$ getroffen werden, es gibt jedoch kein
         $y$, zu dem es keinen $x$-Wert gibt.
 
+        \subsubsection{Beweise}
+            Nachfolgend betrachten wir $f: \R \rightarrow \R, x \mapsto mx+b, m\ne 0$.\\
+            Um die \emph{Injektivität} einer Funktion zu beweisen, nehmen wir
+            die umgekehrte Definition, also $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$.
+            \begin{proof}
+                \emph{Zu zeigen:} $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$\\
+                Sei $f(x) = f(y)$ mit $x,y \in \R$ beliebig.
+                \begin{align*}
+                    f(x) &= f(y)\\
+                    mx+b &= my+b\\
+                    mx &= my\\
+                    x &= y
+                \end{align*}
+                Da $x=y$, ist $f$ injektiv.
+            \end{proof}
+
+            Um \emph{Surjektivität} zu zeigen, wird zunächst die Definition von
+            $x$ ermittelt:
+            \begin{align*}
+                f(x) &= y \\
+                mx+b &= y \\
+                mx &= y - b \\
+                x &= \frac{y-b}{m}
+            \end{align*}
+            Diese Definition macht man sich nun im Beweis zu nutze, um $f(x) = y$
+            für beliebige $y$ zu zeigen:
+            \begin{proof}
+                Sei $y \in \R$ beliebig. Aus vorheriger Berechnung ist bekannt:
+                $x = \frac{y-b}{m}$
+                \begin{align*}
+                    f(x) = f\left(\frac{y-b}{m}\right) = m\cdot \frac{y-b}{m} + b
+                    = y - b + b = y
+                \end{align*}
+                Daraus resultiert, dass $f$ surjektiv ist.
+            \end{proof}
+            Da $f$ surjektiv und injektiv ist, folgt auch die \emph{Surjektivität}
+            für $f$.
+
+\section{Zahlen}\label{zahlen}
+    \subsection{Natürliche Zahlen}
+        \subsubsection{Peano-Axiome}
+            Definition der natürlichen Zahlen durch Peano:
+            \begin{enumerate}
+                \item $0 \in \N$
+                \item es gibt eine Nachfolgerabbildung $succ: \N \rightarrow \N \backslash \{0\}$
+                \item $succ$ ist injektiv
+                \item Ist $M \subseteq \N$ mit
+                    \begin{enumerate}[i.]
+                        \item $0 \in M$
+                        \item $m \in M \Rightarrow succ(m) \in M \forall m \in M$
+                    \end{enumerate}
+                    so gilt $M= \N$.
+            \end{enumerate}
+
+    \subsection{Gruppen}\label{zahlen:gruppen}
+        Eine nichtleere Menge $G$ mit einer Verknüpfung $\circ$ heißt Gruppe,
+        wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:
+        \begin{enumerate}
+            \item Assoziativität von $\circ$, also $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \; \forall a,b,c \in G$
+            \item Es existiert ein neutrales Element $e$, für das gilt: $e \in G: a \circ e =a \; \forall a \in G$
+            \item Zu jedem Element gibt es ein Inverses $a^{-1}$, für das gilt: $a \circ a^{-1} = e$
+        \end{enumerate}
+        Gilt darüber hinaus die \emph{Kommutativität}
+        \[a \circ b = b \circ a \forall a,b \in G \]
+        heißt die Gruppe abelsch oder kommutativ.
+
 \section{Vektorräume}\label{vektorraum}
     \subsection{Vektorraum}\label{vektorraum:def}
         Eine nichtleere Menge $V$ heißt Vektorraum über einem Körper $\K$, wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:\\