Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} (reflexiv, symmetrisch, transitiv) zutreffen.
Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} (reflexiv, symmetrisch, transitiv) zutreffen.
Eine Relation heißt Ordnungsrelation ($\prec$), wenn sie total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.\\
\ex Sei $ M =\R, \prec\rarr\le: x \le y $
\subsubsection{Halbe Ordnung}
$\prec$ heißt eine Halbordnung auf $ M $, wenn Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie gegeben sind für $ x \prec y $ für $ x,y \in M $
\subsubsection{Ganze Ordnung}
$\prec$ heißt eine ganze Ordnung, wenn alle $ x,y \in M $ entweder $ x \prec y $ oder $ y \prec x $ erfüllen.
Eine Relation heißt Ordnungsrelation ($\prec$), wenn sie total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.\\
\ex Sei $ M =\R, \prec\rarr\le: x \le y $
\subsubsection{Halbe Ordnung}
$\prec$ heißt eine Halbordnung auf $ M $, wenn Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie gegeben sind für $ x \prec y $ für $ x,y \in M $
\subsubsection{Ganze Ordnung}
$\prec$ heißt eine ganze Ordnung, wenn alle $ x,y \in M $ entweder $ x \prec y $ oder $ y \prec x $ erfüllen.
\section{Abbildungen}
\subsection{Definition}
Eine Abbildung $ f $ einer Menge $ U \subset M $ auf eine Menge $ N $ ist eine Vorschrift, die jedem $ x \in M $ (Urbild) genau ein Element $ y \in N $ (Bild von $x$) zuordnet.
Dabei ist $ U $ die \idx{Urbildmenge} und $ N $ die \idx{Bildmenge}. Weiter ist $ U $ die Domain (\idx{Definitionsbereich}) von $ f $ in $ M $ ($ U = dom(f)$)\\\\
Eine Abbildung $ f $ von einer Menge $ M $ in eine Menge $ Y \subset N $ ist gegeben durch eine Relation:\\
$ R_f $ zwischen $ M $ und $ N $, bei der jedes $ x \in M $ mit genau einem $ y \in N $ in Relation steht:\\
$(x,y)\in R_f $ und $(x,\tilde{y})\in R_f \Rarr y =\tilde{y}$. Wir schreiben in diesem Fall $ f(x)= y $
\subsubsection{Verknüpfte Abbildungen}
\begin{align}
(f \circ g)(x) = f(g(x)) \text{\ wobei }
g: M \rarr N \text{\ und } f: N \rarr P \Rarr f \circ g: M \rarr P
Eine Abbildung $ f $ einer Menge $ U \subset M $ auf eine Menge $ N $ ist eine Vorschrift, die jedem $ x \in M $ (Urbild) genau ein Element $ y \in N $ (Bild von $x$) zuordnet.
Dabei ist $ U $ die \idx{Urbildmenge} und $ N $ die \idx{Bildmenge}. Weiter ist $ U $ die Domain (\idx{Definitionsbereich}) von $ f $ in $ M $ ($ U = dom(f)$)\\\\
Eine Abbildung $ f $ von einer Menge $ M $ in eine Menge $ Y \subset N $ ist gegeben durch eine Relation:\\
$ R_f $ zwischen $ M $ und $ N $, bei der jedes $ x \in M $ mit genau einem $ y \in N $ in Relation steht:\\
$(x,y)\in R_f $ und $(x,\tilde{y})\in R_f \Rarr y =\tilde{y}$. Wir schreiben in diesem Fall $ f(x)= y $
\subsubsection{Verknüpfte Abbildungen}
\begin{align}
(f \circ g)(x) = f(g(x)) \text{\ wobei }
g: M \rarr N \text{\ und } f: N \rarr P \Rarr f \circ g: M \rarr P
Wir betrachten eine Abbildung $f: M \rightarrow N$.
\begin{tabu}{rl}
@ -178,158 +178,158 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
für $f$.
\subsubsection{Regeln für Abbildungen}
\ther
\begin{enumerate}[a.)]
\item Sind $ f $ und $ g $ injektiv, so ist $ f \circ g $ injektiv
\item Sind $ f $ und $ g $ surjektiv, so ist $ f \circ g $ surjektiv
\item Sind $ f $ und $ g $ bijektiv, so ist $ f \circ g $ bijektiv
\item Ist $ f \circ g $ injektiv, so ist auch $ g $ injektiv
\item Ist $ f \circ g $ surjektiv, so ist auch $ f $ surjektiv
\item Ist $ f \circ g $ bijektiv, so ist $ f $ injektiv und $ g $ surjektiv
\end{enumerate}
Die Beweise zu a.) - f.) werden zur \prac gelassen. Teilweise wurden sie schon in der Vorlesung gezeigt.\\
\anm: In der Vorlesung wurde noch kurz Russels Paradoxon\footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Barbier-Paradoxon} bzw. \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie}} angesprochen:\\
\[ R :=\{x \in\Omega | x \not\in\{x\}\}\subset\Omega\]
\[ R \in R \Lrarr R \not\in\{R\}\]
\ther
\begin{enumerate}[a.]
\item Sind $ f $ und $ g $ injektiv, so ist $ f \circ g $ injektiv
\item Sind $ f $ und $ g $ surjektiv, so ist $ f \circ g $ surjektiv
\item Sind $ f $ und $ g $ bijektiv, so ist $ f \circ g $ bijektiv
\item Ist $ f \circ g $ injektiv, so ist auch $ g $ injektiv
\item Ist $ f \circ g $ surjektiv, so ist auch $ f $ surjektiv
\item Ist $ f \circ g $ bijektiv, so ist $ f $ injektiv und $ g $ surjektiv
\end{enumerate}
Die Beweise zu a. --- f.\ werden zur \prac{} gelassen. Teilweise wurden sie schon in der Vorlesung gezeigt.\\
\anm: In der Vorlesung wurde noch kurz Russels Paradoxon\footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Barbier-Paradoxon} bzw. \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie}} angesprochen:\\
\[ R :=\{x \in\Omega | x \not\in\{x\}\}\subset\Omega\]
\item Ein Zeichen ist ein Symbol (\ex$ x $ oder $\in$)
\item Eine Zeichenkette ist eine Aneinanderreihung von Zeichen (\ex$ x \in M $ oder ''diesisteineZeichenkette'')
\item Ein Alphabet ist eine endliche Menge von Zeichen
\item Ein Wort oder Satz das Länge $ n $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Verkettung von $ n $ Zeichen aus $ A $. Das leere Word wird mit $\epsilon$ bezeichnet.\\
$ A^n $ ist die Menge aller Wörter der Länge $ n $\footnote{nicht zu verwechseln mit einem Produktraum von Alphabeten ($ A \times A \times A \times\dots$)}
\item Die freie Sprache $ S $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Teilmenge von $ A*$
\end{enumerate}
\subsubsection{Wahrheitswerte}
\cdef Die Menge $ B $ der Wahrheitstabelle ist wie folgt definitiert:
\cdef Sei $ S $ eine Sprache über einem Alphabet $ A $. Sei $ T $ eine Teilmenge von $ S $ und es gebe eine Abbildung $ I: T \rarr B $. Dann heißen die Elemente von $ T $ logische \idx{Aussagen} und die die Abbildung $ I $ heißt \idx{Interpretation}\footnote{Anschaulicher: Aussagen sind Sprachsätze, die unter einer gegeben Interpretation einen Wahrheitswert haben}\\
\ex$2$ ist kleiner als $7$\\
\cdef Ein $n$-stelliges Prädikat auf $ M $ ist eine Abbildung von $ M^n \rarr B $. \\
\[\Rarr\text{Relation } r: M^n \rarr B , r (x) :=\begin{cases}&\text{wahr, wenn } x\in R\\&\text{falsch, wenn } x \not\in R \end{cases}\]
\subsubsection{Grundoperationen der Aussagenlogik}
\begin{enumerate}
\item Negation $\lnot A $ : es ist nicht wahr, dass $ A $ wahr ist
\item Konjunktion $ A \land B: A $ und $ B $
\item Disjunktion $ A \lor B: A $ oder $ B $
\item Implikation $ A \Rarr B $ : Aus $ A $ folgt $ B $
\item Äquivalenz $ A \Lrarr B $: $ A $ genau dann wenn $ B $
\end{enumerate}
\anm Etwas übersichtlicher sind die Operationen in Tabellenform:
Es gibt verschiedene Wege eine Behauptung zu beweisen. Drei wurden in der Vorlesung behandelt:
\begin{enumerate}
\item Direkter Beweis $p \rightarrow q$: Sei $p$, dann zeigen wir, dass q wahr ist
\item indirekter oder Widerspruchsbeweis (Kontrapositiv)
\item Beweis durch vollstaendige Induktion
\end{enumerate}
\paragraph{Induktionsbeweis:}
$$\\Grundsätzliches Schema:\\
Sei $ P: \N\rarr B $ ein Prädikat auf $\N$ ($P(n)$ ist wahr oder falsch $\forall n \in\N$). Dann ist folgendes zu zeigen:
\begin{enumerate}[1.]
\item Induktionsanfang: $ P(0)$ ist wahr
\item$\forall n \in\N$ gilt: Aus $ P(n)$ ist wahr $\rarr P(succ(n))$ ist wahr.
\end{enumerate}
Dann folgt: $ P $ ist allgemeingültig über $\N$, d.h. $ P(n)$ ist wahr $\forall n\in\N$\footnote{Beispiele zur Induktion gibts auf den Übungsblättern oder im Skript}
\subsection{Boolesche Funktionen}
Sei $ B :=\{0,1\}$. Dann existiert eine Abbildung $ f: B^n \rarr B $.\\
\ex$ f(A)=\lnot(A)$
\subsubsection{Prädikatenlogik}
Sei $ P $ ein Prädikat auf $ M $
\begin{itemize}
\item$ P $ ist erfüllbar, wenn $ P(x)$ wahr ist für mindestens ein $ x \in M $
\subitem$\exists x \in M $ sodass $ P(x)$ wahr ist
\item$ P $ ist allgemeingültig, wenn $ P(x)$ wahr ist, wenn $ x \in M $
\subitem$(\forall x \in M) P(x)$ ist wahr
\end{itemize}
\subsection{Negation von Quantoren}
\begin{itemize}
\item$\lnot(P(x)\forall x\in M)\Lrarr\exists x \in M $ sodass $\lnot P(x)$
\item$\lnot(\exists x \in M $ sodass $ P(x))\Lrarr\forall x \in M, \lnot P(x)$
\end{itemize}
\subsection{Mengen und Logik - Bitvektoren}
Sei $ M :={x_1, \dots, x_n}, N \subseteq M $. Bitvektoren $ B_N :=(b_1, \dots, b_n), b_j =\begin{cases}&1, \text{ falls } x_j \in N \\
& 0, \text{ falls } x_j \not\in N \end{cases}$
Seien $ K $ und $ L \subseteq M, L \cap K, L \cup K $, dann sind:
\begin{itemize}
\item$ B_{L\cap K}= B_L \land B_K $
\item$ B_{L\cup K}= B_L \lor B_K $
\item$ B_{L^0}=1- B_L $ (Bitinversion)
\item$\overline{L}= M \backslash L $
\item$ L^0= M \backslash L $
\end{itemize}
\anm Die Anzahl aller möglichen Teilmengen von $ M =\{x_1, \dots, x_n\}$ (bei endlicher Potenzmenge) ist äquivalent zur Anzahl der Bitvektoren mit $ m $ Komponenten
\subsection{Mächtigkeit}
\cdef Zwei Mengen $ M $ und $\Omega$ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung $ f:M \rarr\Omega$ gibt\\
\ther
\begin{enumerate}[a)]
\item Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Mengen
\item Endliche Mengen mit gleicher Anzahl an Elementen sind gleichmächtig
\end{enumerate}
\ex Sei $ M :=\{x_1, \dots, x_n\}$\\
$ |P(M)| = |P(B_M)| =2^M $
\subsection{Boolesche Algebra}
Gegeben sei $ R $, eine Relation auf dem kartesischen Produkt $ M \times N =\{x_1,\dots, x_n\}\times\{y_1, \dots, y_n\}$
\item Ein Zeichen ist ein Symbol (\ex{}$ x $ oder $\in$)
\item Eine Zeichenkette ist eine Aneinanderreihung von Zeichen (\ex{}$ x \in M $ oder \verb|"diesisteineZeichenkette"|)
\item Ein Alphabet ist eine endliche Menge von Zeichen
\item Ein Wort oder Satz das Länge $ n $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Verkettung von $ n $ Zeichen aus $ A $. Das leere Word wird mit $\epsilon$ bezeichnet.\\
$ A^n $ ist die Menge aller Wörter der Länge $ n $\footnote{nicht zu verwechseln mit einem Produktraum von Alphabeten ($ A \times A \times A \times\dots$)}
\item Die freie Sprache $ S $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Teilmenge von $ A*$
\end{enumerate}
\subsubsection{Wahrheitswerte}
\cdef Die Menge $ B $ der Wahrheitstabelle ist wie folgt definiert:
\cdef Sei $ S $ eine Sprache über einem Alphabet $ A $. Sei $ T $ eine Teilmenge von $ S $ und es gebe eine Abbildung $ I: T \rarr B $. Dann heißen die Elemente von $ T $ logische \idx{Aussagen} und die die Abbildung $ I $ heißt \idx{Interpretation}\footnote{Anschaulicher: Aussagen sind Sprachsätze, die unter einer gegeben Interpretation einen Wahrheitswert haben}\\
\ex$2$ ist kleiner als $7$\\
\cdef Ein $n$-stelliges Prädikat auf $ M $ ist eine Abbildung von $ M^n \rarr B $. \\
\[\Rarr\text{Relation } r: M^n \rarr B , r (x) :=\begin{cases}&\text{wahr, wenn } x\in R\\&\text{falsch, wenn } x \not\in R \end{cases}\]
\subsubsection{Grundoperationen der Aussagenlogik}
\begin{enumerate}
\item Negation $\lnot A $ : es ist nicht wahr, dass $ A $ wahr ist
\item Konjunktion $ A \land B: A $ und $ B $
\item Disjunktion $ A \lor B: A $ oder $ B $
\item Implikation $ A \Rarr B $ : Aus $ A $ folgt $ B $
\item Äquivalenz $ A \Lrarr B $: $ A $ genau dann wenn $ B $
\end{enumerate}
\anm Etwas übersichtlicher sind die Operationen in Tabellenform:
Es gibt verschiedene Wege eine Behauptung zu beweisen. Drei wurden in der Vorlesung behandelt:
\begin{enumerate}
\item Direkter Beweis $p \rightarrow q$: Sei $p$, dann zeigen wir, dass q wahr ist
\item indirekter oder Widerspruchsbeweis (Kontrapositiv)
\item Beweis durch vollstaendige Induktion
\end{enumerate}
\paragraph{Induktionsbeweis:}
$$\\Grundsätzliches Schema:\\
Sei $ P: \N\rarr B $ ein Prädikat auf $\N$ ($P(n)$ ist wahr oder falsch $\forall n \in\N$). Dann ist folgendes zu zeigen:
\begin{enumerate}[1.]
\item Induktionsanfang: $ P(0)$ ist wahr
\item$\forall n \in\N$ gilt: Aus $ P(n)$ ist wahr $\rarr P(succ(n))$ ist wahr.
\end{enumerate}
Dann folgt: $ P $ ist allgemeingültig über $\N$, d.h. $ P(n)$ ist wahr $\forall n\in\N$\footnote{Beispiele zur Induktion gibts auf den Übungsblättern oder im Skript}
\subsection{Boolesche Funktionen}
Sei $ B :=\{0,1\}$. Dann existiert eine Abbildung $ f: B^n \rarr B $.\\
\ex$ f(A)=\lnot(A)$
\subsubsection{Prädikatenlogik}
Sei $ P $ ein Prädikat auf $ M $
\begin{itemize}
\item$ P $ ist erfüllbar, wenn $ P(x)$ wahr ist für mindestens ein $ x \in M $
\subitem$\exists x \in M $ sodass $ P(x)$ wahr ist
\item$ P $ ist allgemeingültig, wenn $ P(x)$ wahr ist, wenn $ x \in M $
\subitem$(\forall x \in M) P(x)$ ist wahr
\end{itemize}
\subsection{Negation von Quantoren}
\begin{itemize}
\item$\lnot(P(x)\forall x\in M)\Lrarr\exists x \in M $ sodass $\lnot P(x)$
\item$\lnot(\exists x \in M $ sodass $ P(x))\Lrarr\forall x \in M, \lnot P(x)$
\end{itemize}
\subsection{Mengen und Logik - Bitvektoren}
Sei $ M :={x_1, \dots, x_n}, N \subseteq M $. Bitvektoren $ B_N :=(b_1, \dots, b_n), b_j =\begin{cases}&1, \text{ falls } x_j \in N \\
& 0, \text{ falls } x_j \not\in N \end{cases}$
Seien $ K $ und $ L \subseteq M, L \cap K, L \cup K $, dann sind:
\begin{itemize}
\item$ B_{L\cap K}= B_L \land B_K $
\item$ B_{L\cup K}= B_L \lor B_K $
\item$ B_{L^0}=1- B_L $ (Bitinversion)
\item$\overline{L}= M \backslash L $
\item$ L^0= M \backslash L $
\end{itemize}
\anm Die Anzahl aller möglichen Teilmengen von $ M =\{x_1, \dots, x_n\}$ (bei endlicher Potenzmenge) ist äquivalent zur Anzahl der Bitvektoren mit $ m $ Komponenten
\subsection{Mächtigkeit}
\cdef Zwei Mengen $ M $ und $\Omega$ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung $ f:M \rarr\Omega$ gibt\\
\ther
\begin{enumerate}[a)]
\item Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Mengen
\item Endliche Mengen mit gleicher Anzahl an Elementen sind gleichmächtig
\end{enumerate}
\ex Sei $ M :=\{x_1, \dots, x_n\}$\\
$ |P(M)| = |P(B_M)| =2^M $
\subsection{Boolesche Algebra}
Gegeben sei $ R $, eine Relation auf dem kartesischen Produkt $ M \times N =\{x_1,\dots, x_n\}\times\{y_1, \dots, y_n\}$
\item rationale Zahlen $\mathbb{Q}:=\{x =\frac{a}{b} | a, b \in\mathbb{Z}\}$
\item reele Zahlen $\mathbb{R}$: z.B. $\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$
\item komplexe Zahlen $\mathbb{C} :=\{z = x +\sqrt{-1}\cdot y\ |\ x, y \in\mathbb{R}\}$
\end{itemize}
\subsection{Natürliche Zahlen}
\subsubsection{Peano-Axiome}
@ -359,42 +359,42 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
heißt die Gruppe abelsch oder kommutativ.\\
\ex
\begin{itemize}
\item$(\Z,+),(\Q,+),(\R,+),(\C,+)$ sind Gruppen
\item$(\Z,\cdot)$ ist keine Gruppe (inverses Element ist nicht in $\Z$)
\item$(\Q\backslash\{0\},\cdot)$ und $(\R\backslash\{0\},\cdot)$ sind abelsche Gruppen
\item$(\Z,+),(\Q,+),(\R,+),(\C,+)$ sind Gruppen
\item$(\Z,\cdot)$ ist keine Gruppe (inverses Element ist nicht in $\Z$)
\item$(\Q\backslash\{0\},\cdot)$ und $(\R\backslash\{0\},\cdot)$ sind abelsche Gruppen
\end{itemize}
\textbf{Fakt:} Seien $(G, \cdot)$ und $(H, *)$ Gruppen. Dann ist $(G \times H, 0)$ mit $(g,h)(\in(G\times H))\circ(g',h')(\in(G\times H))=(g \cdot g', h*h')$ eine Gruppe
\subsubsection{Identitätsfunktion}
TODO
\subsubsection{Satz: Eigenschaften von Gruppen}
In jeder Gruppe gilt:\footnote{Beweise gab es in der VL, zu finden in den Notizen zu Gruppen im studIP}
\begin{enumerate}[a.)]
\item$\exists! e \in G $ (Gruppe enthält genau ein neutrales Element)
\item$\forall a \in G $ gilt $ a * e = a $
\item$\forall a \in G, \exists! a' $ mit $ a' * a = e $ (es existieren alle inversen Elemente)
\item$ a' * a= e \Rarr a * a' = e $
\item$ a * b = a * c \Rightarrow b = c $ und $ b * a = c * a \Rarr b = c $
\end{enumerate}
\subsubsection{Definition: Untergruppen}
Eine Teilmenge $ U \subset G $ einer Gruppe $(G, *)$ heißt \idx{Untergruppe} von G, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
\begin{itemize}
\item$ U \neq\emptyset$
\item$ a,b \in U \Rarr a * b \in U $
\item$ a \in U \Rarr a^{-1}\in U $
\end{itemize}
\subsubsection{Definition: Gruppenhomomorphismus}
\textbf{i)} Eine Abbildung $ f:G\rarr H $ zwischen $(G, *)$ und $(H, \circ)$ heißt \idx{Gruppenhomomorphismus}, wenn $\forall a,b \in G $ stets $ f(a*b)= f(a)\circ f(b)$ gilt.\\
\textbf{ii)} Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus heißt \idx{Isomorphismus}. Falls $ f: G \rarr H $ ein Isomorphismus ist, schreibt man $ f:G \tilde{\rarr} H$.
\subsubsection{Definition: Zyklen}
Eine Gruppe heißt \idx{zyklisch}, wenn es ein $ g \in G $ gibt, sodass $ <g> :=\{g^k | k \in\Z\}=\{\dots,g^{-2}, g^{-1}, e, g^1, g^2, \dots\}$
\subsubsection{Satz: Untergruppe von $\Z$}
Zu jeder Untergruppe $ U \in\Z$ von $(\Z,+)\exists$ ein $ n \in\Z$ mit $ U = n\Z$
\textbf{Fakt:} Seien $(G, \cdot)$ und $(H, *)$ Gruppen. Dann ist $(G \times H, 0)$ mit $(g,h)(\in(G\times H))\circ(g',h')(\in(G\times H))=(g \cdot g', h*h')$ eine Gruppe
\subsubsection{Identitätsfunktion}
TODO
\subsubsection{Satz: Eigenschaften von Gruppen}
In jeder Gruppe gilt:\footnote{Beweise gab es in der VL, zu finden in den Notizen zu Gruppen im studIP}
\begin{enumerate}[a.)]
\item$\exists! e \in G $ (Gruppe enthält genau ein neutrales Element)
\item$\forall a \in G $ gilt $ a * e = a $
\item$\forall a \in G, \exists! a' $ mit $ a' * a = e $ (es existieren alle inversen Elemente)
\item$ a' * a= e \Rarr a * a' = e $
\item$ a * b = a * c \Rightarrow b = c $ und $ b * a = c * a \Rarr b = c $
\end{enumerate}
\subsubsection{Definition: Untergruppen}
Eine Teilmenge $ U \subset G $ einer Gruppe $(G, *)$ heißt \idx{Untergruppe} von G, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
\begin{itemize}
\item$ U \neq\emptyset$
\item$ a,b \in U \Rarr a * b \in U $
\item$ a \in U \Rarr a^{-1}\in U $
\end{itemize}
\subsubsection{Definition: Gruppenhomomorphismus}
\textbf{i)} Eine Abbildung $ f:G\rarr H $ zwischen $(G, *)$ und $(H, \circ)$ heißt \idx{Gruppenhomomorphismus}, wenn $\forall a,b \in G $ stets $ f(a*b)= f(a)\circ f(b)$ gilt.\\
\textbf{ii)} Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus heißt \idx{Isomorphismus}. Falls $ f: G \rarr H $ ein Isomorphismus ist, schreibt man $ f:G \tilde{\rarr} H$.
\subsubsection{Definition: Zyklen}
Eine Gruppe heißt \idx{zyklisch}, wenn es ein $ g \in G $ gibt, sodass $ <g> :=\{g^k | k \in\Z\}=\{\dots,g^{-2}, g^{-1}, e, g^1, g^2, \dots\}$
\subsubsection{Satz: Untergruppe von $\Z$}
Zu jeder Untergruppe $ U \in\Z$ von $(\Z,+)\exists$ ein $ n \in\Z$ mit $ U = n\Z$
