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DiMa/dima.tex

@@ -59,11 +59,23 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
         Dabei ist die Reihenfolge unerheblich und es wird nicht zurückgelegt.
         Die Definition ist wie folgt:
         \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
+        \begin{satz}
+            Seien $k, n \in \N$. Dann gilt:
+            \[\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}\]
+        \end{satz}
 
         \subsubsection{Binomialsatz}\label{kombi:binomsatz}
         Seien $x, y \in \R$ und $n \in \N$. Es gilt:
         \[{(x+y)}^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \]
 
+        \begin{satz}
+            \begin{enumerate}
+                \item \[\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n, \; \forall k,n \in \N_0\]
+                \item \[\sum_{k=0}^n {(-1)}^k \binom{n}{k} = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} 
+                + \binom{n}{2} \ldots = 0\]
+            \end{enumerate}
+        \end{satz}
+
         \subsubsection{Siebformel}\label{kombi:sieb}
         Mithilfe der \idx{Siebformel} kann die Kardinalität einer Menge durch
         die Kardinalitäten ihrer Teilmengen bestimmt werden.
@@ -80,7 +92,15 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
         Von $n$ Elementen gibt es genau $n!{}$ Permutationen, und ${(n-1)}!{}$ Permutationen
         mit dem Fixpunkt $k$.
         Die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen ist
-        \[n!\frac{n!}{1!} + \frac{n!}{2} - \frac{n!}{3!} + \cdots + {(-1)}^n\frac{n!}{n!} = \sum_{k=0}^{n}{(-1)}^k\frac{n!}{n!} \]
+        \[n!\frac{n!}{1!} + \frac{n!}{2} - \frac{n!}{3!} + \cdots + {(-1)}^n\frac{n!}{n!} = \sum_{k=0}^{n} {(-1)}^k \frac{n!}{n!} \]
+
+        \newcommand*{\fkn}{f: \{1, \ldots, k\} \rightarrow{} \{1, \ldots, n\}}
+        \begin{satz}
+            Die Anzahl der nicht-surjektiven Abbildungen $ \fkn$ ist gleich
+            \[\sum_{m=1}^k {(-1)}^{m-1} \binom{n}{m} (n-m). \] Die Anzahl
+            der Surjektionen beträgt
+            \[\sum_{m=0}^n {(=1)}^m \binom{n}{m} {(n-m)}^k \]
+        \end{satz}
 
         \subsubsection{Kombination mit Wiederholung}\label{kombi:mitWiederholung}
         Wenn die Reihenfolge egal ist und Wiederholungen erlaubt sind, wird
@@ -102,10 +122,14 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
     \end{align*}
     Dann ist die Lösung:
     \begin{align*}
-        T(n) &= r^n T(0) + a \sum_{i=0}^{a-1} r^2, \; n \in \N_0, r = 1 \\
-        T(n) &= r^a T(0) + a \frac{1-r^n}{1-r}, \text{\ für } r \ne 1
+        T(n) &= r^n T(1) + a \sum_{i=0}^{a-1} r^2, \; n \in \N_0, r = 1 \\
+        T(n) &= r^a T(1) + a \frac{1-r^n}{1-r}, \text{\ für } r \ne 1
     \end{align*}
 
+        \subsubsection{Geometrische Summenformel}
+            Es gilt:
+            \[ \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \]
+
     \subsection{Wachstum von Funktionen}
     Seien $f,g : \N_0 \rightarrow \R$.\\
     \idx{Abschätzung nach oben}\\
@@ -154,7 +178,6 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
         Besitzt die Wurzel und jede innere Ecke genau $q$ direkte Nachfolger,
         ist dies ein \idx{vollständiger (n, q)-Baum}
 
-        \newtheorem{satz}{Satz}[section]
         \begin{satz}
             Sei $T$ ein (n, q)-Baum, wobei $n \ge 1, q \ge 2$.
             Dann ist $l(T) = \log_q n$

MafIA1/mafia.tex

@@ -179,7 +179,7 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
             
         \subsubsection{Regeln für Abbildungen}
             \ther
-       		\begin{enumerate}[a.)]
+            \begin{enumerate}[a.]
                 \item Sind $ f $ und $ g $ injektiv, so ist $ f \circ g $ injektiv
                 \item Sind $ f $ und $ g $ surjektiv, so ist $ f \circ g $ surjektiv
                 \item Sind $ f $ und $ g $ bijektiv, so ist $ f \circ g $ bijektiv
@@ -187,7 +187,7 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
                 \item Ist $ f \circ g $ surjektiv, so ist auch $ f $ surjektiv
                 \item Ist $ f \circ g $ bijektiv, so ist $ f $ injektiv und $ g $ surjektiv
             \end{enumerate}
-        	Die Beweise zu a.) - f.) werden zur \prac gelassen. Teilweise wurden sie schon in der Vorlesung gezeigt.\\
+            Die Beweise zu a. --- f.\ werden zur \prac{} gelassen. Teilweise wurden sie schon in der Vorlesung gezeigt.\\
             \anm: In der Vorlesung wurde noch kurz Russels Paradoxon\footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Barbier-Paradoxon} bzw. \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie}} angesprochen:\\
             \[ R := \{x \in \Omega | x \not \in \{x\}\} \subset \Omega \]
             \[ R \in R \Lrarr R \not \in \{R\}\]
@@ -195,17 +195,17 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
 \section{Sprache und Logik}
     \subsection{Grundlagen}
         \subsubsection{Zeichen, Alphabete, Worte, Sprachen}
-			\cdef
+            \cdef{}
             \begin{enumerate}
-				\item Ein Zeichen ist ein Symbol (\ex $ x $ oder $\in$)
-				\item Eine Zeichenkette ist eine Aneinanderreihung von Zeichen (\ex $ x \in M $ oder ''diesisteineZeichenkette'')
+                \item Ein Zeichen ist ein Symbol (\ex{} $ x $ oder $\in$)
+                \item Eine Zeichenkette ist eine Aneinanderreihung von Zeichen (\ex{} $ x \in M $ oder \verb|"diesisteineZeichenkette"|)
                 \item Ein Alphabet ist eine endliche Menge von Zeichen
                 \item Ein Wort oder Satz das Länge $ n $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Verkettung von $ n $ Zeichen aus $ A $. Das leere Word wird mit $ \epsilon $ bezeichnet.\\
                 $ A^n $ ist die Menge aller Wörter der Länge $ n $\footnote{nicht zu verwechseln mit einem Produktraum von Alphabeten ($ A \times A \times A \times \dots$)}
                 \item Die freie Sprache $ S $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Teilmenge von $ A* $
             \end{enumerate}
         \subsubsection{Wahrheitswerte}
-			\cdef Die Menge $ B $ der Wahrheitstabelle ist wie folgt definitiert:
+            \cdef Die Menge $ B $ der Wahrheitstabelle ist wie folgt definiert:
             \begin{align}
                 B := \{\text{wahr, falsch}\} = \{\text{true, false}\} = \{W, F\} = \{1,0\}
             \end{align}

env/commands.tex

@@ -39,3 +39,5 @@
 
 % Index command to show the key emphasized
 \newcommand{\idx}[1]{{\emph{#1}\index{#1}}}
+
+\newtheorem{satz}{Satz}[section]