diff --git a/DiMa/dima.pdf b/DiMa/dima.pdf index 2d8d16d..20bbb30 100644 Binary files a/DiMa/dima.pdf and b/DiMa/dima.pdf differ diff --git a/DiMa/dima.tex b/DiMa/dima.tex index c01cf40..d978006 100644 --- a/DiMa/dima.tex +++ b/DiMa/dima.tex @@ -59,11 +59,23 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! Dabei ist die Reihenfolge unerheblich und es wird nicht zurückgelegt. Die Definition ist wie folgt: \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \] + \begin{satz} + Seien $k, n \in \N$. Dann gilt: + \[\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}\] + \end{satz} \subsubsection{Binomialsatz}\label{kombi:binomsatz} Seien $x, y \in \R$ und $n \in \N$. Es gilt: \[{(x+y)}^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \] + \begin{satz} + \begin{enumerate} + \item \[\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n, \; \forall k,n \in \N_0\] + \item \[\sum_{k=0}^n {(-1)}^k \binom{n}{k} = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + + \binom{n}{2} \ldots = 0\] + \end{enumerate} + \end{satz} + \subsubsection{Siebformel}\label{kombi:sieb} Mithilfe der \idx{Siebformel} kann die Kardinalität einer Menge durch die Kardinalitäten ihrer Teilmengen bestimmt werden. @@ -80,7 +92,15 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! Von $n$ Elementen gibt es genau $n!{}$ Permutationen, und ${(n-1)}!{}$ Permutationen mit dem Fixpunkt $k$. Die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen ist - \[n!\frac{n!}{1!} + \frac{n!}{2} - \frac{n!}{3!} + \cdots + {(-1)}^n\frac{n!}{n!} = \sum_{k=0}^{n}{(-1)}^k\frac{n!}{n!} \] + \[n!\frac{n!}{1!} + \frac{n!}{2} - \frac{n!}{3!} + \cdots + {(-1)}^n\frac{n!}{n!} = \sum_{k=0}^{n} {(-1)}^k \frac{n!}{n!} \] + + \newcommand*{\fkn}{f: \{1, \ldots, k\} \rightarrow{} \{1, \ldots, n\}} + \begin{satz} + Die Anzahl der nicht-surjektiven Abbildungen $ \fkn$ ist gleich + \[\sum_{m=1}^k {(-1)}^{m-1} \binom{n}{m} (n-m). \] Die Anzahl + der Surjektionen beträgt + \[\sum_{m=0}^n {(=1)}^m \binom{n}{m} {(n-m)}^k \] + \end{satz} \subsubsection{Kombination mit Wiederholung}\label{kombi:mitWiederholung} Wenn die Reihenfolge egal ist und Wiederholungen erlaubt sind, wird @@ -102,10 +122,14 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! \end{align*} Dann ist die Lösung: \begin{align*} - T(n) &= r^n T(0) + a \sum_{i=0}^{a-1} r^2, \; n \in \N_0, r = 1 \\ - T(n) &= r^a T(0) + a \frac{1-r^n}{1-r}, \text{\ für } r \ne 1 + T(n) &= r^n T(1) + a \sum_{i=0}^{a-1} r^2, \; n \in \N_0, r = 1 \\ + T(n) &= r^a T(1) + a \frac{1-r^n}{1-r}, \text{\ für } r \ne 1 \end{align*} + \subsubsection{Geometrische Summenformel} + Es gilt: + \[ \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \] + \subsection{Wachstum von Funktionen} Seien $f,g : \N_0 \rightarrow \R$.\\ \idx{Abschätzung nach oben}\\ @@ -154,7 +178,6 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! Besitzt die Wurzel und jede innere Ecke genau $q$ direkte Nachfolger, ist dies ein \idx{vollständiger (n, q)-Baum} - \newtheorem{satz}{Satz}[section] \begin{satz} Sei $T$ ein (n, q)-Baum, wobei $n \ge 1, q \ge 2$. Dann ist $l(T) = \log_q n$ diff --git a/MafIA1/mafia.pdf b/MafIA1/mafia.pdf index e682082..9d19b7c 100644 Binary files a/MafIA1/mafia.pdf and b/MafIA1/mafia.pdf differ diff --git a/MafIA1/mafia.tex b/MafIA1/mafia.tex index 49103ea..940b67e 100644 --- a/MafIA1/mafia.tex +++ b/MafIA1/mafia.tex @@ -27,14 +27,14 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! \begin{align} N \subset M \Lrarr M \supset N \end{align} - \ex $ N := \{\text{the}\}$ ist eine Teilmenge von $ M $, jedoch ist $ M $ keine Teilmenge von $ N $, da nicht alle Elemente aus $ M $ in $ N $ sind. - + \ex $ N := \{\text{the}\}$ ist eine Teilmenge von $ M $, jedoch ist $ M $ keine Teilmenge von $ N $, da nicht alle Elemente aus $ M $ in $ N $ sind. + \subsection{Leere Menge} - \begin{align} - O := \{\} = \emptyset - \end{align} - \ex $ O := \{x | x \text{ ein Artikel aus dem chinesischen}\} = \emptyset $\\ - \anm In der chinesischen Sprache gibt es keine Artikel + \begin{align} + O := \{\} = \emptyset + \end{align} + \ex $ O := \{x | x \text{ ein Artikel aus dem chinesischen}\} = \emptyset $\\ + \anm In der chinesischen Sprache gibt es keine Artikel \subsection{Potzenmenge} Sei \(M\) eine Menge.\\ @@ -54,31 +54,31 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! \begin{align} M \cup N = \{x : x \in M \lor x \in N\} \end{align} - Die Vereinigung besteht als allen Elementen, die in $ M $ oder in $ N $ sind.\\6 - \ex $ M := \{\text{the}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \cup N := \{\text{the, der, die}\}$ - + Die Vereinigung besteht als allen Elementen, die in $ M $ oder in $ N $ sind.\\6 + \ex $ M := \{\text{the}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \cup N := \{\text{the, der, die}\}$ + \subsection{Differenzmenge} - \begin{align} - M \backslash N = \{x : x \in M \land x \not\in N\} - \end{align} - Die Differenzmenge besteht aus den Elementen aus $ M $, die \textbf{nicht} in $ N $ sind.\\ - \ex $ M := \{\text{the, die, der, das}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \backslash N := \{\text{the, das}\}$ + \begin{align} + M \backslash N = \{x : x \in M \land x \not\in N\} + \end{align} + Die Differenzmenge besteht aus den Elementen aus $ M $, die \textbf{nicht} in $ N $ sind.\\ + \ex $ M := \{\text{the, die, der, das}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \backslash N := \{\text{the, das}\}$ \subsection{Satz: Regeln für Mengen} - Seien $ M, N \text{ und } Q $ Mengen, dann gelten folgende Regeln: - \begin{enumerate} - \item $ M \cap N = N \cap M $ ($\cap$ ist kommutativ) - \item $ M \cup N = N \cup M $ ($\cup$ ist kommutativ) - \item $ (M \cap N) \cap Q = M \cap (N \cap Q) $ ($\cap$ ist assoziativ) - \item $ (M \cup N) \cup Q = M \cup (N \cup Q) $ ($\cup$ ist assoziativ) - \item $ (M \cap N) \cup Q = (M \cup Q) \cap (N \cup Q) $ (distributiv) - \item $ (M \cup N) \cap Q = (M \cap Q) \cup (N \cap Q) $ (distributiv) - \item $ M \cap M = M $ (Eine Menge ist geschnitten mit sich selbst wieder die Menge) - \item $ M \cup M = M $ (Eine Menge ist vereinigt mit sich selbst wieder die Menge) - \item $ M \cap \emptyset = \emptyset $ (Eine Menge, geschnitten mit der leeren Menge, ist die leere Menge) - \item $ M \cup \emptyset = M $ (Eine Menge, vereinigt mit der leeren Menge, ist die Menge selbst) - \end{enumerate} - Zusammenfassend (1-6): Schnittmenge und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und distributiv + Seien $ M, N \text{ und } Q $ Mengen, dann gelten folgende Regeln: + \begin{enumerate} + \item $ M \cap N = N \cap M $ ($\cap$ ist kommutativ) + \item $ M \cup N = N \cup M $ ($\cup$ ist kommutativ) + \item $ (M \cap N) \cap Q = M \cap (N \cap Q) $ ($\cap$ ist assoziativ) + \item $ (M \cup N) \cup Q = M \cup (N \cup Q) $ ($\cup$ ist assoziativ) + \item $ (M \cap N) \cup Q = (M \cup Q) \cap (N \cup Q) $ (distributiv) + \item $ (M \cup N) \cap Q = (M \cap Q) \cup (N \cap Q) $ (distributiv) + \item $ M \cap M = M $ (Eine Menge ist geschnitten mit sich selbst wieder die Menge) + \item $ M \cup M = M $ (Eine Menge ist vereinigt mit sich selbst wieder die Menge) + \item $ M \cap \emptyset = \emptyset $ (Eine Menge, geschnitten mit der leeren Menge, ist die leere Menge) + \item $ M \cup \emptyset = M $ (Eine Menge, vereinigt mit der leeren Menge, ist die Menge selbst) + \end{enumerate} + Zusammenfassend (1-6): Schnittmenge und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und distributiv \section{Relationen} Eine Relation ist zunächst eine Teilmenge beliebiger Mengen $M, N$. @@ -100,30 +100,30 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! \ex antisymmetrisch: $ 3 \le 3 \land 3 \ge 3 \Rightarrow 3 = 3$\\ \subsection{Äquivalenzrelation}\label{relationen:aequivalenz} - Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} (reflexiv, symmetrisch, transitiv) zutreffen. + Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} (reflexiv, symmetrisch, transitiv) zutreffen. \subsection{Ordnungsrelation}\label{relationen:ordnung} - Eine Relation heißt Ordnungsrelation ($ \prec $), wenn sie total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.\\ - \ex Sei $ M = \R, \prec \rarr \le: x \le y $ - \subsubsection{Halbe Ordnung} - $ \prec $ heißt eine Halbordnung auf $ M $, wenn Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie gegeben sind für $ x \prec y $ für $ x,y \in M $ - \subsubsection{Ganze Ordnung} - $ \prec $ heißt eine ganze Ordnung, wenn alle $ x,y \in M $ entweder $ x \prec y $ oder $ y \prec x $ erfüllen. + Eine Relation heißt Ordnungsrelation ($ \prec $), wenn sie total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.\\ + \ex Sei $ M = \R, \prec \rarr \le: x \le y $ + \subsubsection{Halbe Ordnung} + $ \prec $ heißt eine Halbordnung auf $ M $, wenn Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie gegeben sind für $ x \prec y $ für $ x,y \in M $ + \subsubsection{Ganze Ordnung} + $ \prec $ heißt eine ganze Ordnung, wenn alle $ x,y \in M $ entweder $ x \prec y $ oder $ y \prec x $ erfüllen. \section{Abbildungen} - \subsection{Definition} - Eine Abbildung $ f $ einer Menge $ U \subset M $ auf eine Menge $ N $ ist eine Vorschrift, die jedem $ x \in M $ (Urbild) genau ein Element $ y \in N $ (Bild von $x$) zuordnet. - Dabei ist $ U $ die \idx{Urbildmenge} und $ N $ die \idx{Bildmenge}. Weiter ist $ U $ die Domain (\idx{Definitionsbereich}) von $ f $ in $ M $ ($ U = dom(f) $)\\\\ - Eine Abbildung $ f $ von einer Menge $ M $ in eine Menge $ Y \subset N $ ist gegeben durch eine Relation:\\ - $ R_f $ zwischen $ M $ und $ N $, bei der jedes $ x \in M $ mit genau einem $ y \in N $ in Relation steht:\\ - $ (x,y) \in R_f $ und $ (x,\tilde{y}) \in R_f \Rarr y = \tilde{y} $. Wir schreiben in diesem Fall $ f(x) = y $ - \subsubsection{Verknüpfte Abbildungen} - \begin{align} - (f \circ g)(x) = f(g(x)) \text{\ wobei } - g: M \rarr N \text{\ und } f: N \rarr P \Rarr f \circ g: M \rarr P - \end{align} - - \subsection{Eigenschaften}\label{abb:eigenschaften} + \subsection{Definition} + Eine Abbildung $ f $ einer Menge $ U \subset M $ auf eine Menge $ N $ ist eine Vorschrift, die jedem $ x \in M $ (Urbild) genau ein Element $ y \in N $ (Bild von $x$) zuordnet. + Dabei ist $ U $ die \idx{Urbildmenge} und $ N $ die \idx{Bildmenge}. Weiter ist $ U $ die Domain (\idx{Definitionsbereich}) von $ f $ in $ M $ ($ U = dom(f) $)\\\\ + Eine Abbildung $ f $ von einer Menge $ M $ in eine Menge $ Y \subset N $ ist gegeben durch eine Relation:\\ + $ R_f $ zwischen $ M $ und $ N $, bei der jedes $ x \in M $ mit genau einem $ y \in N $ in Relation steht:\\ + $ (x,y) \in R_f $ und $ (x,\tilde{y}) \in R_f \Rarr y = \tilde{y} $. Wir schreiben in diesem Fall $ f(x) = y $ + \subsubsection{Verknüpfte Abbildungen} + \begin{align} + (f \circ g)(x) = f(g(x)) \text{\ wobei } + g: M \rarr N \text{\ und } f: N \rarr P \Rarr f \circ g: M \rarr P + \end{align} + + \subsection{Eigenschaften}\label{abb:eigenschaften} Wir betrachten eine Abbildung $f: M \rightarrow N$. \begin{tabu}{rl} @@ -178,158 +178,158 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! für $f$. \subsubsection{Regeln für Abbildungen} - \ther - \begin{enumerate}[a.)] - \item Sind $ f $ und $ g $ injektiv, so ist $ f \circ g $ injektiv - \item Sind $ f $ und $ g $ surjektiv, so ist $ f \circ g $ surjektiv - \item Sind $ f $ und $ g $ bijektiv, so ist $ f \circ g $ bijektiv - \item Ist $ f \circ g $ injektiv, so ist auch $ g $ injektiv - \item Ist $ f \circ g $ surjektiv, so ist auch $ f $ surjektiv - \item Ist $ f \circ g $ bijektiv, so ist $ f $ injektiv und $ g $ surjektiv - \end{enumerate} - Die Beweise zu a.) - f.) werden zur \prac gelassen. Teilweise wurden sie schon in der Vorlesung gezeigt.\\ - \anm: In der Vorlesung wurde noch kurz Russels Paradoxon\footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Barbier-Paradoxon} bzw. \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie}} angesprochen:\\ - \[ R := \{x \in \Omega | x \not \in \{x\}\} \subset \Omega \] - \[ R \in R \Lrarr R \not \in \{R\}\] + \ther + \begin{enumerate}[a.] + \item Sind $ f $ und $ g $ injektiv, so ist $ f \circ g $ injektiv + \item Sind $ f $ und $ g $ surjektiv, so ist $ f \circ g $ surjektiv + \item Sind $ f $ und $ g $ bijektiv, so ist $ f \circ g $ bijektiv + \item Ist $ f \circ g $ injektiv, so ist auch $ g $ injektiv + \item Ist $ f \circ g $ surjektiv, so ist auch $ f $ surjektiv + \item Ist $ f \circ g $ bijektiv, so ist $ f $ injektiv und $ g $ surjektiv + \end{enumerate} + Die Beweise zu a. --- f.\ werden zur \prac{} gelassen. Teilweise wurden sie schon in der Vorlesung gezeigt.\\ + \anm: In der Vorlesung wurde noch kurz Russels Paradoxon\footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Barbier-Paradoxon} bzw. \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie}} angesprochen:\\ + \[ R := \{x \in \Omega | x \not \in \{x\}\} \subset \Omega \] + \[ R \in R \Lrarr R \not \in \{R\}\] \section{Sprache und Logik} - \subsection{Grundlagen} - \subsubsection{Zeichen, Alphabete, Worte, Sprachen} - \cdef - \begin{enumerate} - \item Ein Zeichen ist ein Symbol (\ex $ x $ oder $\in$) - \item Eine Zeichenkette ist eine Aneinanderreihung von Zeichen (\ex $ x \in M $ oder ''diesisteineZeichenkette'') - \item Ein Alphabet ist eine endliche Menge von Zeichen - \item Ein Wort oder Satz das Länge $ n $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Verkettung von $ n $ Zeichen aus $ A $. Das leere Word wird mit $ \epsilon $ bezeichnet.\\ - $ A^n $ ist die Menge aller Wörter der Länge $ n $\footnote{nicht zu verwechseln mit einem Produktraum von Alphabeten ($ A \times A \times A \times \dots$)} - \item Die freie Sprache $ S $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Teilmenge von $ A* $ - \end{enumerate} - \subsubsection{Wahrheitswerte} - \cdef Die Menge $ B $ der Wahrheitstabelle ist wie folgt definitiert: - \begin{align} - B := \{\text{wahr, falsch}\} = \{\text{true, false}\} = \{W, F\} = \{1,0\} - \end{align} - \cdef Sei $ S $ eine Sprache über einem Alphabet $ A $. Sei $ T $ eine Teilmenge von $ S $ und es gebe eine Abbildung $ I: T \rarr B $. Dann heißen die Elemente von $ T $ logische \idx{Aussagen} und die die Abbildung $ I $ heißt \idx{Interpretation}\footnote{Anschaulicher: Aussagen sind Sprachsätze, die unter einer gegeben Interpretation einen Wahrheitswert haben}\\ - \ex $ 2 $ ist kleiner als $ 7 $\\ - \cdef Ein $n$-stelliges Prädikat auf $ M $ ist eine Abbildung von $ M^n \rarr B $. \\ - \[ \Rarr \text{Relation } r: M^n \rarr B , r (x) := \begin{cases} & \text{wahr, wenn } x\in R\\ & \text{falsch, wenn } x \not \in R \end{cases} \] - - \subsubsection{Grundoperationen der Aussagenlogik} - \begin{enumerate} - \item Negation $ \lnot A $ : es ist nicht wahr, dass $ A $ wahr ist - \item Konjunktion $ A \land B: A $ und $ B $ - \item Disjunktion $ A \lor B: A $ oder $ B $ - \item Implikation $ A \Rarr B $ : Aus $ A $ folgt $ B $ - \item Äquivalenz $ A \Lrarr B $: $ A $ genau dann wenn $ B $ - \end{enumerate} - \anm Etwas übersichtlicher sind die Operationen in Tabellenform: - - \begin{figure}[tbh] - \centering - \includegraphics[width=0.7\linewidth]{ressources/41_Grundoperationen_Aussagenlogik} - \caption{Grundoperationen der Aussagenlogik} - \label{fig:GrundoperationenAussagenlogik} - \end{figure} - - \ther - \begin{enumerate} - \item $p \land q = q \land p$ (Kommutativität) - \item $p \lor q = q \lor p$ (Kommutativität) - \item $(p \land q) \land r = p \land (q \land r)$ (Assoziativität) - \item $(p \lor q) \lor r = p \lor (q \lor r)$ (Assoziativität) - \item $(p \land q) \lor r = (p \lor r) \land (q \lor r)$ (Distributitivät von $\land$ und $\lor$) - \item $(p \lor q) \land r = (p \land r) \lor (p \land r)$ (Distributitivät von $\lor$ und $\land$) - \item $p \land p = p$ (Idempotenz) - \item $p \lor p = p $ (Idempotenz) - \item $\neg (p \land q) = (\neg p) \lor (\neg q)$ (Morgensche Regel) - \item $\neg (p \lor q) = (\neg p) \land (\neg q)$ (Morgensche Regel) - \item $\neg (\neg(q)) = q$ - \end{enumerate} - - \subsubsection{Beweistechnik} - Es gibt verschiedene Wege eine Behauptung zu beweisen. Drei wurden in der Vorlesung behandelt: - \begin{enumerate} - \item Direkter Beweis $p \rightarrow q$: Sei $p$, dann zeigen wir, dass q wahr ist - \item indirekter oder Widerspruchsbeweis (Kontrapositiv) - \item Beweis durch vollstaendige Induktion - \end{enumerate} - - \paragraph{Induktionsbeweis:} - $ $\\Grundsätzliches Schema:\\ - Sei $ P: \N \rarr B $ ein Prädikat auf $ \N $ ($P(n)$ ist wahr oder falsch $ \forall n \in \N $). Dann ist folgendes zu zeigen: - \begin{enumerate}[1.] - \item Induktionsanfang: $ P(0) $ ist wahr - \item $ \forall n \in \N$ gilt: Aus $ P(n) $ ist wahr $ \rarr P(succ(n)) $ ist wahr. - \end{enumerate} - Dann folgt: $ P $ ist allgemeingültig über $ \N $, d.h. $ P(n) $ ist wahr $ \forall n\in \N $\footnote{Beispiele zur Induktion gibts auf den Übungsblättern oder im Skript} - \subsection{Boolesche Funktionen} - Sei $ B := \{0,1\} $. Dann existiert eine Abbildung $ f: B^n \rarr B $.\\ - \ex $ f(A) = \lnot(A) $ - - \subsubsection{Prädikatenlogik} - Sei $ P $ ein Prädikat auf $ M $ - \begin{itemize} - \item $ P $ ist erfüllbar, wenn $ P(x) $ wahr ist für mindestens ein $ x \in M $ - \subitem $ \exists x \in M $ sodass $ P(x) $ wahr ist - \item $ P $ ist allgemeingültig, wenn $ P(x) $ wahr ist, wenn $ x \in M $ - \subitem $ (\forall x \in M) P(x) $ ist wahr - \end{itemize} - - \subsection{Negation von Quantoren} - \begin{itemize} - \item $ \lnot (P(x) \forall x\in M) \Lrarr \exists x \in M $ sodass $ \lnot P(x) $ - \item $ \lnot (\exists x \in M $ sodass $ P(x)) \Lrarr \forall x \in M, \lnot P(x) $ - \end{itemize} - - \subsection{Mengen und Logik - Bitvektoren} - Sei $ M := {x_1, \dots, x_n}, N \subseteq M $. Bitvektoren $ B_N := (b_1, \dots, b_n), b_j = \begin{cases} & 1, \text{ falls } x_j \in N \\ - & 0, \text{ falls } x_j \not\in N \end{cases} $ - Seien $ K $ und $ L \subseteq M, L \cap K, L \cup K $, dann sind: - \begin{itemize} - \item $ B_{L\cap K} = B_L \land B_K $ - \item $ B_{L\cup K} = B_L \lor B_K $ - \item $ B_{L^0} = 1 - B_L $ (Bitinversion) - \item $ \overline{L} = M \backslash L $ - \item $ L^0 = M \backslash L $ - \end{itemize} - \anm Die Anzahl aller möglichen Teilmengen von $ M = \{x_1, \dots, x_n\} $ (bei endlicher Potenzmenge) ist äquivalent zur Anzahl der Bitvektoren mit $ m $ Komponenten - - \subsection{Mächtigkeit} - \cdef Zwei Mengen $ M $ und $ \Omega $ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung $ f:M \rarr \Omega $ gibt\\ - \ther - \begin{enumerate}[a)] - \item Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Mengen - \item Endliche Mengen mit gleicher Anzahl an Elementen sind gleichmächtig - \end{enumerate} - \ex Sei $ M := \{x_1, \dots, x_n\} $\\ - $ |P(M)| = |P(B_M)| = 2^M $ - - \subsection{Boolesche Algebra} - Gegeben sei $ R $, eine Relation auf dem kartesischen Produkt $ M \times N = \{x_1,\dots, x_n\} \times \{y_1, \dots, y_n\} $ - \begin{figure}[tbh] - \centering - \includegraphics[width=0.8\linewidth]{ressources/46_Boolesche_Algebra_xi_R_yj} - \caption{Die Relation $x_i R y_j$} - \label{fig:Boolsche_Algebra} - \end{figure} - $ $\\\\ - Falls $ M = N $ ist $ m = n $ - \begin{itemize} - \item für $ R $ reflexiv, ist $ b_{ij} = 1 $ - \item für $ R $ symmetrisch, ist $ b_{ij} = b_{ji} $ - \end{itemize} - - + \subsection{Grundlagen} + \subsubsection{Zeichen, Alphabete, Worte, Sprachen} + \cdef{} + \begin{enumerate} + \item Ein Zeichen ist ein Symbol (\ex{} $ x $ oder $\in$) + \item Eine Zeichenkette ist eine Aneinanderreihung von Zeichen (\ex{} $ x \in M $ oder \verb|"diesisteineZeichenkette"|) + \item Ein Alphabet ist eine endliche Menge von Zeichen + \item Ein Wort oder Satz das Länge $ n $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Verkettung von $ n $ Zeichen aus $ A $. Das leere Word wird mit $ \epsilon $ bezeichnet.\\ + $ A^n $ ist die Menge aller Wörter der Länge $ n $\footnote{nicht zu verwechseln mit einem Produktraum von Alphabeten ($ A \times A \times A \times \dots$)} + \item Die freie Sprache $ S $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Teilmenge von $ A* $ + \end{enumerate} + \subsubsection{Wahrheitswerte} + \cdef Die Menge $ B $ der Wahrheitstabelle ist wie folgt definiert: + \begin{align} + B := \{\text{wahr, falsch}\} = \{\text{true, false}\} = \{W, F\} = \{1,0\} + \end{align} + \cdef Sei $ S $ eine Sprache über einem Alphabet $ A $. Sei $ T $ eine Teilmenge von $ S $ und es gebe eine Abbildung $ I: T \rarr B $. Dann heißen die Elemente von $ T $ logische \idx{Aussagen} und die die Abbildung $ I $ heißt \idx{Interpretation}\footnote{Anschaulicher: Aussagen sind Sprachsätze, die unter einer gegeben Interpretation einen Wahrheitswert haben}\\ + \ex $ 2 $ ist kleiner als $ 7 $\\ + \cdef Ein $n$-stelliges Prädikat auf $ M $ ist eine Abbildung von $ M^n \rarr B $. \\ + \[ \Rarr \text{Relation } r: M^n \rarr B , r (x) := \begin{cases} & \text{wahr, wenn } x\in R\\ & \text{falsch, wenn } x \not \in R \end{cases} \] + + \subsubsection{Grundoperationen der Aussagenlogik} + \begin{enumerate} + \item Negation $ \lnot A $ : es ist nicht wahr, dass $ A $ wahr ist + \item Konjunktion $ A \land B: A $ und $ B $ + \item Disjunktion $ A \lor B: A $ oder $ B $ + \item Implikation $ A \Rarr B $ : Aus $ A $ folgt $ B $ + \item Äquivalenz $ A \Lrarr B $: $ A $ genau dann wenn $ B $ + \end{enumerate} + \anm Etwas übersichtlicher sind die Operationen in Tabellenform: + + \begin{figure}[tbh] + \centering + \includegraphics[width=0.7\linewidth]{ressources/41_Grundoperationen_Aussagenlogik} + \caption{Grundoperationen der Aussagenlogik} + \label{fig:GrundoperationenAussagenlogik} + \end{figure} + + \ther + \begin{enumerate} + \item $p \land q = q \land p$ (Kommutativität) + \item $p \lor q = q \lor p$ (Kommutativität) + \item $(p \land q) \land r = p \land (q \land r)$ (Assoziativität) + \item $(p \lor q) \lor r = p \lor (q \lor r)$ (Assoziativität) + \item $(p \land q) \lor r = (p \lor r) \land (q \lor r)$ (Distributitivät von $\land$ und $\lor$) + \item $(p \lor q) \land r = (p \land r) \lor (p \land r)$ (Distributitivät von $\lor$ und $\land$) + \item $p \land p = p$ (Idempotenz) + \item $p \lor p = p $ (Idempotenz) + \item $\neg (p \land q) = (\neg p) \lor (\neg q)$ (Morgensche Regel) + \item $\neg (p \lor q) = (\neg p) \land (\neg q)$ (Morgensche Regel) + \item $\neg (\neg(q)) = q$ + \end{enumerate} + + \subsubsection{Beweistechnik} + Es gibt verschiedene Wege eine Behauptung zu beweisen. Drei wurden in der Vorlesung behandelt: + \begin{enumerate} + \item Direkter Beweis $p \rightarrow q$: Sei $p$, dann zeigen wir, dass q wahr ist + \item indirekter oder Widerspruchsbeweis (Kontrapositiv) + \item Beweis durch vollstaendige Induktion + \end{enumerate} + + \paragraph{Induktionsbeweis:} + $ $\\Grundsätzliches Schema:\\ + Sei $ P: \N \rarr B $ ein Prädikat auf $ \N $ ($P(n)$ ist wahr oder falsch $ \forall n \in \N $). Dann ist folgendes zu zeigen: + \begin{enumerate}[1.] + \item Induktionsanfang: $ P(0) $ ist wahr + \item $ \forall n \in \N$ gilt: Aus $ P(n) $ ist wahr $ \rarr P(succ(n)) $ ist wahr. + \end{enumerate} + Dann folgt: $ P $ ist allgemeingültig über $ \N $, d.h. $ P(n) $ ist wahr $ \forall n\in \N $\footnote{Beispiele zur Induktion gibts auf den Übungsblättern oder im Skript} + \subsection{Boolesche Funktionen} + Sei $ B := \{0,1\} $. Dann existiert eine Abbildung $ f: B^n \rarr B $.\\ + \ex $ f(A) = \lnot(A) $ + + \subsubsection{Prädikatenlogik} + Sei $ P $ ein Prädikat auf $ M $ + \begin{itemize} + \item $ P $ ist erfüllbar, wenn $ P(x) $ wahr ist für mindestens ein $ x \in M $ + \subitem $ \exists x \in M $ sodass $ P(x) $ wahr ist + \item $ P $ ist allgemeingültig, wenn $ P(x) $ wahr ist, wenn $ x \in M $ + \subitem $ (\forall x \in M) P(x) $ ist wahr + \end{itemize} + + \subsection{Negation von Quantoren} + \begin{itemize} + \item $ \lnot (P(x) \forall x\in M) \Lrarr \exists x \in M $ sodass $ \lnot P(x) $ + \item $ \lnot (\exists x \in M $ sodass $ P(x)) \Lrarr \forall x \in M, \lnot P(x) $ + \end{itemize} + + \subsection{Mengen und Logik - Bitvektoren} + Sei $ M := {x_1, \dots, x_n}, N \subseteq M $. Bitvektoren $ B_N := (b_1, \dots, b_n), b_j = \begin{cases} & 1, \text{ falls } x_j \in N \\ + & 0, \text{ falls } x_j \not\in N \end{cases} $ + Seien $ K $ und $ L \subseteq M, L \cap K, L \cup K $, dann sind: + \begin{itemize} + \item $ B_{L\cap K} = B_L \land B_K $ + \item $ B_{L\cup K} = B_L \lor B_K $ + \item $ B_{L^0} = 1 - B_L $ (Bitinversion) + \item $ \overline{L} = M \backslash L $ + \item $ L^0 = M \backslash L $ + \end{itemize} + \anm Die Anzahl aller möglichen Teilmengen von $ M = \{x_1, \dots, x_n\} $ (bei endlicher Potenzmenge) ist äquivalent zur Anzahl der Bitvektoren mit $ m $ Komponenten + + \subsection{Mächtigkeit} + \cdef Zwei Mengen $ M $ und $ \Omega $ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung $ f:M \rarr \Omega $ gibt\\ + \ther + \begin{enumerate}[a)] + \item Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Mengen + \item Endliche Mengen mit gleicher Anzahl an Elementen sind gleichmächtig + \end{enumerate} + \ex Sei $ M := \{x_1, \dots, x_n\} $\\ + $ |P(M)| = |P(B_M)| = 2^M $ + + \subsection{Boolesche Algebra} + Gegeben sei $ R $, eine Relation auf dem kartesischen Produkt $ M \times N = \{x_1,\dots, x_n\} \times \{y_1, \dots, y_n\} $ + \begin{figure}[tbh] + \centering + \includegraphics[width=0.8\linewidth]{ressources/46_Boolesche_Algebra_xi_R_yj} + \caption{Die Relation $x_i R y_j$} + \label{fig:Boolsche_Algebra} + \end{figure} + $ $\\\\ + Falls $ M = N $ ist $ m = n $ + \begin{itemize} + \item für $ R $ reflexiv, ist $ b_{ij} = 1 $ + \item für $ R $ symmetrisch, ist $ b_{ij} = b_{ji} $ + \end{itemize} + + \section{Zahlen}\label{zahlen} - \subsection{Allgemein} - Es wurden in der Vorlesung folgende Arten von Zahlen behandelt: - \begin{itemize} - \item natürliche Zahlen $\mathbb{N} := \{0, 1, 2, 3, ...\}$ - \item ganze Zahlen $\mathbb{Z} := \{..., -1, 0, 1, ...\}$ - \item rationale Zahlen $\mathbb{Q}:=\{x = \frac{a}{b} | a, b \in \mathbb{Z}\}$ - \item reele Zahlen $\mathbb{R}$: z.B. $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$ - \item komplexe Zahlen $\mathbb{C} := \{z = x + \sqrt{-1} \cdot y\ |\ x, y \in \mathbb{R}\}$ - \end{itemize} + \subsection{Allgemein} + Es wurden in der Vorlesung folgende Arten von Zahlen behandelt: + \begin{itemize} + \item natürliche Zahlen $\mathbb{N} := \{0, 1, 2, 3, ...\}$ + \item ganze Zahlen $\mathbb{Z} := \{..., -1, 0, 1, ...\}$ + \item rationale Zahlen $\mathbb{Q}:=\{x = \frac{a}{b} | a, b \in \mathbb{Z}\}$ + \item reele Zahlen $\mathbb{R}$: z.B. $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$ + \item komplexe Zahlen $\mathbb{C} := \{z = x + \sqrt{-1} \cdot y\ |\ x, y \in \mathbb{R}\}$ + \end{itemize} \subsection{Natürliche Zahlen} \subsubsection{Peano-Axiome} @@ -359,46 +359,46 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! heißt die Gruppe abelsch oder kommutativ.\\ \ex \begin{itemize} - \item $(\Z,+),(\Q,+),(\R,+),(\C,+)$ sind Gruppen - \item $(\Z,\cdot) $ ist keine Gruppe (inverses Element ist nicht in $ \Z $) - \item $(\Q\backslash\{0\},\cdot) $ und $ (\R\backslash\{0\},\cdot)$ sind abelsche Gruppen + \item $(\Z,+),(\Q,+),(\R,+),(\C,+)$ sind Gruppen + \item $(\Z,\cdot) $ ist keine Gruppe (inverses Element ist nicht in $ \Z $) + \item $(\Q\backslash\{0\},\cdot) $ und $ (\R\backslash\{0\},\cdot)$ sind abelsche Gruppen \end{itemize} - \textbf{Fakt:} Seien $ (G, \cdot) $ und $ (H, *) $ Gruppen. Dann ist $ (G \times H, 0) $ mit $ (g,h) (\in (G\times H)) \circ (g',h') (\in (G\times H)) = (g \cdot g', h*h') $ eine Gruppe - - \subsubsection{Identitätsfunktion} - TODO - - \subsubsection{Satz: Eigenschaften von Gruppen} - In jeder Gruppe gilt:\footnote{Beweise gab es in der VL, zu finden in den Notizen zu Gruppen im studIP} - \begin{enumerate}[a.)] - \item $ \exists ! e \in G $ (Gruppe enthält genau ein neutrales Element) - \item $ \forall a \in G $ gilt $ a * e = a $ - \item $ \forall a \in G, \exists! a' $ mit $ a' * a = e $ (es existieren alle inversen Elemente) - \item $ a' * a = e \Rarr a * a' = e $ - \item $ a * b = a * c \Rightarrow b = c $ und $ b * a = c * a \Rarr b = c $ - \end{enumerate} - \subsubsection{Definition: Untergruppen} - Eine Teilmenge $ U \subset G $ einer Gruppe $ (G, *) $ heißt \idx{Untergruppe} von G, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: - \begin{itemize} - \item $ U \neq \emptyset $ - \item $ a,b \in U \Rarr a * b \in U $ - \item $ a \in U \Rarr a^{-1} \in U $ - \end{itemize} - - \subsubsection{Definition: Gruppenhomomorphismus} - \textbf{i)} Eine Abbildung $ f:G\rarr H $ zwischen $ (G, *) $ und $ (H, \circ) $ heißt \idx{Gruppenhomomorphismus}, wenn $ \forall a,b \in G $ stets $ f(a*b) = f(a) \circ f(b) $ gilt.\\ - \textbf{ii)} Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus heißt \idx{Isomorphismus}. Falls $ f: G \rarr H $ ein Isomorphismus ist, schreibt man $ f:G \tilde{\rarr} H$. - - \subsubsection{Definition: Zyklen} - Eine Gruppe heißt \idx{zyklisch}, wenn es ein $ g \in G $ gibt, sodass $ := \{g^k | k \in \Z \} = \{\dots,g^{-2}, g^{-1}, e, g^1, g^2, \dots\} $ - - \subsubsection{Satz: Untergruppe von $\Z$} - Zu jeder Untergruppe $ U \in \Z $ von $ (\Z,+) \exists $ ein $ n \in \Z $ mit $ U = n\Z$ - - - - + \textbf{Fakt:} Seien $ (G, \cdot) $ und $ (H, *) $ Gruppen. Dann ist $ (G \times H, 0) $ mit $ (g,h) (\in (G\times H)) \circ (g',h') (\in (G\times H)) = (g \cdot g', h*h') $ eine Gruppe + + \subsubsection{Identitätsfunktion} + TODO + + \subsubsection{Satz: Eigenschaften von Gruppen} + In jeder Gruppe gilt:\footnote{Beweise gab es in der VL, zu finden in den Notizen zu Gruppen im studIP} + \begin{enumerate}[a.)] + \item $ \exists ! e \in G $ (Gruppe enthält genau ein neutrales Element) + \item $ \forall a \in G $ gilt $ a * e = a $ + \item $ \forall a \in G, \exists! a' $ mit $ a' * a = e $ (es existieren alle inversen Elemente) + \item $ a' * a = e \Rarr a * a' = e $ + \item $ a * b = a * c \Rightarrow b = c $ und $ b * a = c * a \Rarr b = c $ + \end{enumerate} + \subsubsection{Definition: Untergruppen} + Eine Teilmenge $ U \subset G $ einer Gruppe $ (G, *) $ heißt \idx{Untergruppe} von G, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: + \begin{itemize} + \item $ U \neq \emptyset $ + \item $ a,b \in U \Rarr a * b \in U $ + \item $ a \in U \Rarr a^{-1} \in U $ + \end{itemize} + + \subsubsection{Definition: Gruppenhomomorphismus} + \textbf{i)} Eine Abbildung $ f:G\rarr H $ zwischen $ (G, *) $ und $ (H, \circ) $ heißt \idx{Gruppenhomomorphismus}, wenn $ \forall a,b \in G $ stets $ f(a*b) = f(a) \circ f(b) $ gilt.\\ + \textbf{ii)} Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus heißt \idx{Isomorphismus}. Falls $ f: G \rarr H $ ein Isomorphismus ist, schreibt man $ f:G \tilde{\rarr} H$. + + \subsubsection{Definition: Zyklen} + Eine Gruppe heißt \idx{zyklisch}, wenn es ein $ g \in G $ gibt, sodass $ := \{g^k | k \in \Z \} = \{\dots,g^{-2}, g^{-1}, e, g^1, g^2, \dots\} $ + + \subsubsection{Satz: Untergruppe von $\Z$} + Zu jeder Untergruppe $ U \in \Z $ von $ (\Z,+) \exists $ ein $ n \in \Z $ mit $ U = n\Z$ + + + + \section{Vektorräume}\label{vektorraum} \subsection{Vektorraum}\label{vektorraum:def} Eine nichtleere Menge $V$ heißt Vektorraum über einem Körper $\K$, wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:\\ diff --git a/env/commands.tex b/env/commands.tex index f91970a..345bce6 100644 --- a/env/commands.tex +++ b/env/commands.tex @@ -39,3 +39,5 @@ % Index command to show the key emphasized \newcommand{\idx}[1]{{\emph{#1}\index{#1}}} + +\newtheorem{satz}{Satz}[section]