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MafIA1/mafia.tex

@@ -15,34 +15,70 @@ Die Quelldateien sind öffentlich unter \url{https://git.webschneider.org/uni/sa
 Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
 
 \tableofcontents
-\bigskip
+\newpage
 
 \section{Mengenlehre}
     \subsection{Menge}
-        Eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen zu einem Ganzen
+        Eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen zu einem Ganzen\\
+        \ex \(M := \{\text{the, die, der, das}\}\) oder \\
+        \(M := \{x | x \text{ ein bestimmter Artikel aus Englisch oder Deutsch}\}\)
 
     \subsection{Teilmenge}
         \begin{align}
-            N \subset M \Leftrightarrow M \subset N
+            N \subset M \Lrarr M \supset N
         \end{align}
+    	\ex $ N := \{\text{the}\}$ ist eine Teilmenge von $ M $, jedoch ist $ M $ keine Teilmenge von $ N $, da nicht alle Elemente aus $ M $ in $ N $ sind.
+    	
+    \subsection{Leere Menge}
+    	\begin{align}
+    		O := \{\} = \emptyset
+    	\end{align}
+    	\ex $ O := \{x | x \text{ ein Artikel aus dem chinesischen}\} = \emptyset $\\
+    	\anm In der chinesischen Sprache gibt es keine Artikel
 
     \subsection{Potzenmenge}
         Sei \(M\) eine Menge.\\
         \(P(M)\) (auch \(2^M\)):= Menge von allen Teilmengen von M.
-        Sei \(l\) die Anzahl der Elemente von \(M\), so ist die 
-        Anzahl der Möglichkeiten ist \(2^l\)
+        Sei \(l\) die Anzahl der Elemente von \(M\), so ist die Anzahl der Möglichkeiten ist \(2^l\)\\
+        \ex $ Q := \{1,2,3\} \Rarr P(Q) := \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\} $
 
     \subsection{Schnittmenge}
         \begin{align}
             M \cap N := \{x : x \in M \land x \in N\}
         \end{align}
         Die Schnittmenge besteht also aus den gemeinsamen Elementen der beiden Mengen.
-        Falls \(M \cap N = \emptyset\) sind, sind M und N \emph{disjunkt}
+        Falls \(M \cap N = \emptyset\) sind, sind M und N \emph{disjunkt}\\
+        \ex $ M := \{\text{the, die, der, das}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \cap N := \{\text{der, die}\}$
 
     \subsection{Vereinigung}
         \begin{align}
             M \cup N = \{x : x \in M \lor x \in N\}
         \end{align}
+    	Die Vereinigung besteht als allen Elementen, die in $ M $ oder in $ N $ sind.\\6
+    	\ex $ M := \{\text{the}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \cup N := \{\text{the, der, die}\}$
+    	
+    \subsection{Differenzmenge}
+    	\begin{align}
+    		M \backslash N = \{x : x \in M \land x \not\in N\}
+    	\end{align}
+    	Die Differenzmenge besteht aus den Elementen aus $ M $, die \textbf{nicht} in $ N $ sind.\\
+    	\ex $ M := \{\text{the, die, der, das}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \backslash N := \{\text{the, das}\}$
+    
+    \subsection{Satz: Regeln für Mengen}
+    	Seien $ M, N \text{ und } Q $ Mengen, dann gelten folgende Regeln:
+    	\begin{enumerate}
+    		\item $ M \cap N = N \cap M $ ($\cap$ ist kommutativ)
+    		\item $ M \cup N = N \cup M $ ($\cup$ ist kommutativ)
+    		\item $ (M \cap N) \cap Q = M \cap (N \cap Q) $ ($\cap$ ist assoziativ)
+    		\item $ (M \cup N) \cup Q = M \cup (N \cup Q) $ ($\cup$ ist assoziativ)
+    		\item $ (M \cap N) \cup Q = (M \cup Q) \cap (N \cup Q) $ (distributiv)
+    		\item $ (M \cup N) \cap Q = (M \cap Q) \cup (N \cap Q) $ (distributiv)
+    		\item $ M \cap M = M $ (Eine Menge ist geschnitten mit sich selbst wieder die Menge)
+    		\item $ M \cup M = M $ (Eine Menge ist vereinigt mit sich selbst wieder die Menge)
+    		\item $ M \cap \emptyset = \emptyset $  (Eine Menge, geschnitten mit der leeren Menge, ist die leere Menge)
+    		\item $ M \cup \emptyset = M $ (Eine Menge, vereinigt mit der leeren Menge, ist die Menge selbst)
+    	\end{enumerate}
+    	Zusammenfassend (1-6): Schnittmenge und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und distributiv
 
 \section{Relationen}
     Eine Relation ist zunächst eine Teilmenge beliebiger Mengen $M, N$.
@@ -61,15 +97,15 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
         \textbf{total} & $\forall x,y \in M: xRy \lor yRx$, also immer zwei Elemente in Relation stehen
     \end{tabu}
 
-    \emph{Beispiel antisymmetrisch}: $ 3 \le 3 \land 3 \ge 3 \Rightarrow 3 = 3$\\
+    \ex antisymmetrisch: $ 3 \le 3 \land 3 \ge 3 \Rightarrow 3 = 3$\\
 
     \subsection{Äquivalenzrelation}\label{relationen:aequivalenz}
-    Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften}
+    Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} (reflexiv, symmetrisch, transitiv)
     zutreffen.
 
     \subsection{Ordnungsrelation}\label{relationen:ordnung}
-    Eine Ordnungsrelation ist besitzt die Eigenschaften total, reflexiv,
-    antisymmetrisch und transitiv.
+    Eine Relation heißt Ordnungsrelation, wenn sie total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.\\
+    % TODO: halbe Ordnung/ganze Ordnung
 
 \section{Abbildungen}
     \subsection{Eigenschaften}\label{abb:eigenschaften}

README.md

@@ -29,7 +29,8 @@ Diese sind meist unvollständig und nur nach Lust und Laune erstellt, also Obach
 ### Mathematik für Informatik-Anfänger:
  1. Mengen und Abbildungen  
   1.1. Mengenlehre  
-  1.2. Funktionen/Abbildungen  
+  1.2. Relationen  
+  1.3. Funktionen/Abbildungen  
  2. Sprache und Logik  
   2.1. Grundlagen  
   2.2. Boolesche Funktionen  

env/commands.tex

@@ -9,7 +9,16 @@
 \newcommand{\Rq}{\R^2}
 \newcommand{\Qq}{\Q^2}
 
-\newcommand{\lrarr}{\Leftrightarrow}
+\newcommand{\lrarr}{\leftrightarrow}
+\newcommand{\larr}{\leftarrow}
+\newcommand{\rarr}{\rightarrow}
+\newcommand{\Lrarr}{\Leftrightarrow}
+\newcommand{\Larr}{\Leftarrow}
+\newcommand{\Rarr}{\Rightarrow}
+
+\newcommand{\ex}{\emph{Beispiel: }}
+\newcommand{\anm}{\emph{Anmerkung: }}
+
 \newcommand{\linf}{\lim\limits_{n \rightarrow{} \infty}}
 
 %running fraction with slash - requires math mode.