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12 KiB
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\documentclass[a4paper,12pt,parskip=half]{scrartcl}
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\input{../env/packages}
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\input{../env/commands}
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\input{../env/meta}
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\begin{document}
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\title{Zusammenfassung MafIA 1}
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\maketitle
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\section*{Vorwort}
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Dieses Dokument dient zur kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Sätze und Definitionen.
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Ich füge hier nur nach Lust und Laune Dinge ein, so dass dies in keinster Weise als vollständig oder stets korrekt angesehen werden darf.
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Die Quelldateien sind öffentlich unter \url{https://git.webschneider.org/uni/sammlung} einsehbar.
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Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
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\tableofcontents
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\newpage
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\section{Mengenlehre}
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\subsection{Menge}
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Eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen zu einem Ganzen\\
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\ex \(M := \{\text{the, die, der, das}\}\) oder \\
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\(M := \{x | x \text{ ein bestimmter Artikel aus Englisch oder Deutsch}\}\)
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\subsection{Teilmenge}
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\begin{align}
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N \subset M \Lrarr M \supset N
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\end{align}
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\ex $ N := \{\text{the}\}$ ist eine Teilmenge von $ M $, jedoch ist $ M $ keine Teilmenge von $ N $, da nicht alle Elemente aus $ M $ in $ N $ sind.
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\subsection{Leere Menge}
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\begin{align}
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O := \{\} = \emptyset
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\end{align}
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\ex $ O := \{x | x \text{ ein Artikel aus dem chinesischen}\} = \emptyset $\\
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\anm In der chinesischen Sprache gibt es keine Artikel
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\subsection{Potzenmenge}
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Sei \(M\) eine Menge.\\
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\(P(M)\) (auch \(2^M\)):= Menge von allen Teilmengen von M.
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Sei \(l\) die Anzahl der Elemente von \(M\), so ist die Anzahl der Möglichkeiten ist \(2^l\)\\
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\ex $ Q := \{1,2,3\} \Rarr P(Q) := \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\} $
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\subsection{Schnittmenge}
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\begin{align}
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M \cap N := \{x : x \in M \land x \in N\}
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\end{align}
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Die Schnittmenge besteht also aus den gemeinsamen Elementen der beiden Mengen.
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Falls \(M \cap N = \emptyset\) sind, sind M und N \emph{disjunkt}\\
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\ex $ M := \{\text{the, die, der, das}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \cap N := \{\text{der, die}\}$
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\subsection{Vereinigung}
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\begin{align}
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M \cup N = \{x : x \in M \lor x \in N\}
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\end{align}
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Die Vereinigung besteht als allen Elementen, die in $ M $ oder in $ N $ sind.\\6
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\ex $ M := \{\text{the}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \cup N := \{\text{the, der, die}\}$
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\subsection{Differenzmenge}
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\begin{align}
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M \backslash N = \{x : x \in M \land x \not\in N\}
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\end{align}
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Die Differenzmenge besteht aus den Elementen aus $ M $, die \textbf{nicht} in $ N $ sind.\\
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\ex $ M := \{\text{the, die, der, das}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \backslash N := \{\text{the, das}\}$
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\subsection{Satz: Regeln für Mengen}
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Seien $ M, N \text{ und } Q $ Mengen, dann gelten folgende Regeln:
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\begin{enumerate}
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\item $ M \cap N = N \cap M $ ($\cap$ ist kommutativ)
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\item $ M \cup N = N \cup M $ ($\cup$ ist kommutativ)
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\item $ (M \cap N) \cap Q = M \cap (N \cap Q) $ ($\cap$ ist assoziativ)
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\item $ (M \cup N) \cup Q = M \cup (N \cup Q) $ ($\cup$ ist assoziativ)
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\item $ (M \cap N) \cup Q = (M \cup Q) \cap (N \cup Q) $ (distributiv)
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\item $ (M \cup N) \cap Q = (M \cap Q) \cup (N \cap Q) $ (distributiv)
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\item $ M \cap M = M $ (Eine Menge ist geschnitten mit sich selbst wieder die Menge)
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\item $ M \cup M = M $ (Eine Menge ist vereinigt mit sich selbst wieder die Menge)
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\item $ M \cap \emptyset = \emptyset $ (Eine Menge, geschnitten mit der leeren Menge, ist die leere Menge)
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\item $ M \cup \emptyset = M $ (Eine Menge, vereinigt mit der leeren Menge, ist die Menge selbst)
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\end{enumerate}
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Zusammenfassend (1-6): Schnittmenge und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und distributiv
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\section{Relationen}
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Eine Relation ist zunächst eine Teilmenge beliebiger Mengen $M, N$.
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Man schreibt für ein beliebiges Paar aus $(x,y) \in M \times N$ entweder
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$xRy$ oder seltener $(x,y) \in R$.
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\subsection{Eigenschaften}\label{relation:eigenschaften}
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Zur Beschreibung einer Relation gibt es folgende Eigenschaften, dazu
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betrachten wir eine zweistellige Relation $R$ auf $M$:
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\begin{tabu}{rX[l]}
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\textbf{reflexiv} & $\forall x\in M : xRx$, das Element steht also zu sich selbst in Relation.\\
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\textbf{symmetrisch} & $\forall x,y \in M$ aus $xRy$ auch $yRx$ folgt. Die Reihenfolge ist also egal.\\
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\textbf{transitiv} & $\forall x,y,z \in M$ und $xRy$ und $yRz$ folgt $xRz$.\\
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\textbf{antisymmetrisch} & $\forall x,y \in M: xRy \land yRx \Rightarrow x = y$\\
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\textbf{total} & $\forall x,y \in M: xRy \lor yRx$, also immer zwei Elemente in Relation stehen
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\end{tabu}
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\ex antisymmetrisch: $ 3 \le 3 \land 3 \ge 3 \Rightarrow 3 = 3$\\
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\subsection{Äquivalenzrelation}\label{relationen:aequivalenz}
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Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} (reflexiv, symmetrisch, transitiv)
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zutreffen.
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\subsection{Ordnungsrelation}\label{relationen:ordnung}
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Eine Relation heißt Ordnungsrelation, wenn sie total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.\\
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% TODO: halbe Ordnung/ganze Ordnung
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\section{Abbildungen}
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\subsection{Eigenschaften}\label{abb:eigenschaften}
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Wir betrachten eine Abbildung $f: M \rightarrow N$.
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\begin{tabu}{rl}
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\textbf{injektiv} & $\forall x,y \in M, x \neq y : f(x) \neq f(y)$\\
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\textbf{surjektiv} & $\forall y \in N \exists x \in M : y = f(x)$\\
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\textbf{bijektiv} & wenn f injektiv und surjektiv ist
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\end{tabu}
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Dabei bedeutet \emph{injektiv}, dass unterschiedliche Eingaben unterschiedliche
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Ausgaben zur Folge haben, es wird also kein $y$-Wert zweimal getroffen.
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Das heißt auch, dass ein $y$-Wert nicht getroffen werden kann.\\
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\emph{Surjektiv} hingegen bedeutet, dass es zu jedem Bild ein mindestens Urbild gibt.
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Ein $y$ kann also durch mehrere $x$ getroffen werden, es gibt jedoch kein
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$y$, zu dem es keinen $x$-Wert gibt.
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\subsubsection{Beweise}
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Nachfolgend betrachten wir $f: \R \rightarrow \R, x \mapsto mx+b, m\ne 0$.\\
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Um die \emph{Injektivität} einer Funktion zu beweisen, nehmen wir
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die umgekehrte Definition, also $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$.
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\begin{proof}
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\emph{Zu zeigen:} $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$\\
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Sei $f(x) = f(y)$ mit $x,y \in \R$ beliebig.
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\begin{align*}
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f(x) &= f(y)\\
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mx+b &= my+b\\
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mx &= my\\
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x &= y
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\end{align*}
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Da $x=y$, ist $f$ injektiv.
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\end{proof}
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Um \emph{Surjektivität} zu zeigen, wird zunächst die Definition von
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$x$ ermittelt:
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\begin{align*}
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f(x) &= y \\
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mx+b &= y \\
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mx &= y - b \\
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x &= \frac{y-b}{m}
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\end{align*}
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Diese Definition macht man sich nun im Beweis zu nutze, um $f(x) = y$
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für beliebige $y$ zu zeigen:
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\begin{proof}
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Sei $y \in \R$ beliebig. Aus vorheriger Berechnung ist bekannt:
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$x = \frac{y-b}{m}$
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\begin{align*}
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f(x) = f\left(\frac{y-b}{m}\right) = m\cdot \frac{y-b}{m} + b
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= y - b + b = y
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\end{align*}
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Daraus resultiert, dass $f$ surjektiv ist.
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\end{proof}
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Da $f$ surjektiv und injektiv ist, folgt auch die \emph{Surjektivität}
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für $f$.
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\section{Zahlen}\label{zahlen}
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\subsection{Natürliche Zahlen}
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\subsubsection{Peano-Axiome}
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Definition der natürlichen Zahlen durch Peano:
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\begin{enumerate}
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\item $0 \in \N$
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\item es gibt eine Nachfolgerabbildung $succ: \N \rightarrow \N \backslash \{0\}$
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\item $succ$ ist injektiv
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\item Ist $M \subseteq \N$ mit
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\begin{enumerate}[i.]
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\item $0 \in M$
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\item $m \in M \Rightarrow succ(m) \in M \forall m \in M$
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\end{enumerate}
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so gilt $M= \N$.
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\end{enumerate}
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\subsection{Gruppen}\label{zahlen:gruppen}
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Eine nichtleere Menge $G$ mit einer Verknüpfung $\circ$ heißt Gruppe,
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wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:
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\begin{enumerate}
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\item Assoziativität von $\circ$, also $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \; \forall a,b,c \in G$
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\item Es existiert ein neutrales Element $e$, für das gilt: $e \in G: a \circ e =a \; \forall a \in G$
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\item Zu jedem Element gibt es ein Inverses $a^{-1}$, für das gilt: $a \circ a^{-1} = e$
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\end{enumerate}
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Gilt darüber hinaus die \emph{Kommutativität}
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\[a \circ b = b \circ a \forall a,b \in G \]
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heißt die Gruppe abelsch oder kommutativ.
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\section{Vektorräume}\label{vektorraum}
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\subsection{Vektorraum}\label{vektorraum:def}
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Eine nichtleere Menge $V$ heißt Vektorraum über einem Körper $\K$, wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:\\
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\emph{Addition}
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\begin{alignat}{2}
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(u + v) + w &= u + (v+w) \;&& \forall u,v,w \in V\\
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u + v &= v + u \; && \forall u,v \in V\\
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u + 0 &= u \; &&\forall u, v \in V \\
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v + (-v) &= 0 \; && \forall v \in V
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\end{alignat}
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\emph{Skalarmultiplikation}:
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\begin{alignat}{2}
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(\alpha \cdot \beta) \cdot v &= \alpha \cdot (\beta \cdot v )\\
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\alpha \cdot (u+v) &= \alpha \cdot u + \alpha \cdot v \\
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(\alpha \cdot \beta) \cdot v & = \alpha \cdot(\beta \cdot v)\\
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1 \cdot v &= v
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\end{alignat}
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\subsubsection{Basis}
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Minimale Menge der Einheitsvektoren\footnote{Ein Vektor der Länge Eins,
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\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitsvektor}}, mit denen alle anderen Vektoren
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erzeugt werden können. Die Vektoren untereinander sind linear unabhängig.
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Beispiel für $\R^2$:
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\[\left\{\colvec{1}{0},\colvec{0}{1} \right\} \]
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\subsection{Untervektorraum}\label{vektorraum:unterraum}
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Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $\K$.
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Dann ist $U \subset V$ ein Untervektorraum, wenn gilt:
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\begin{enumerate}
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\item $U$ ist nicht leer, also muss mindestens $\colvec{0}{0} \in U$ gelten.
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\item Die Addition muss abgeschlossen sein.
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\item Die Skalarmultiplikation muss abgeschlossen sein.
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\end{enumerate}
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\subsection{Kombinationen}\label{vektorraum:kombination}
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Voraussetzungen für die nächsten Definitionen:
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Seien $v_1, \dots, v_m$ Elemente eines Vektorraums $V$ über einem Skalarenkörper $\K$,
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und es sei $\alpha := (\alpha_1, \dots, \alpha_m)$ ein m-Tupel aus $\K^m$ für ein $m\in \N \backslash \{0\}$.
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\subsubsection{Linearkombination}
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Eine Linearkombination ist eine Vektoraddition, bei der jeder Vektor einer Menge $V$ zunächst mit einem Skalar $\alpha$ multipliziert wird.
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\[\sum_{j=1}^{m} \alpha_j \cdot v_j \]
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\subsubsection{Affinkombination}
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Wenn außerdem gilt, dass die Summe aller Koeffizienten $1$ ergibt, also
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\[\sum_{j=1}^{m} \alpha_j = 1\]
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dann spricht man von einer \emph{Affinkombination}.
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\subsubsection{Konvexkombination}
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Wenn darüber hinaus $\K = \R$ ist und
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\[\alpha_j \in [0,1] \; \forall j, 1\le j \le m \]
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gilt, spricht man von einer \emph{Konvexkombination}.
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Vergleiche zum Verständnis für Konvex die Definition auf Wikipedia\footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_Menge}}
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\vspace{\fill}
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\end{document}
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