diff --git a/MafIA1/mafia.idx b/MafIA1/mafia.idx new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/MafIA1/mafia.pdf b/MafIA1/mafia.pdf index eb2f599..51bd1e1 100644 Binary files a/MafIA1/mafia.pdf and b/MafIA1/mafia.pdf differ diff --git a/MafIA1/mafia.tex b/MafIA1/mafia.tex index ba4dff9..f8aa7c1 100644 --- a/MafIA1/mafia.tex +++ b/MafIA1/mafia.tex @@ -15,34 +15,70 @@ Die Quelldateien sind öffentlich unter \url{https://git.webschneider.org/uni/sa Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! \tableofcontents -\bigskip +\newpage \section{Mengenlehre} \subsection{Menge} - Eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen zu einem Ganzen + Eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen zu einem Ganzen\\ + \ex \(M := \{\text{the, die, der, das}\}\) oder \\ + \(M := \{x | x \text{ ein bestimmter Artikel aus Englisch oder Deutsch}\}\) \subsection{Teilmenge} \begin{align} - N \subset M \Leftrightarrow M \subset N + N \subset M \Lrarr M \supset N \end{align} + \ex $ N := \{\text{the}\}$ ist eine Teilmenge von $ M $, jedoch ist $ M $ keine Teilmenge von $ N $, da nicht alle Elemente aus $ M $ in $ N $ sind. + + \subsection{Leere Menge} + \begin{align} + O := \{\} = \emptyset + \end{align} + \ex $ O := \{x | x \text{ ein Artikel aus dem chinesischen}\} = \emptyset $\\ + \anm In der chinesischen Sprache gibt es keine Artikel \subsection{Potzenmenge} Sei \(M\) eine Menge.\\ \(P(M)\) (auch \(2^M\)):= Menge von allen Teilmengen von M. - Sei \(l\) die Anzahl der Elemente von \(M\), so ist die - Anzahl der Möglichkeiten ist \(2^l\) + Sei \(l\) die Anzahl der Elemente von \(M\), so ist die Anzahl der Möglichkeiten ist \(2^l\)\\ + \ex $ Q := \{1,2,3\} \Rarr P(Q) := \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\} $ \subsection{Schnittmenge} \begin{align} M \cap N := \{x : x \in M \land x \in N\} \end{align} Die Schnittmenge besteht also aus den gemeinsamen Elementen der beiden Mengen. - Falls \(M \cap N = \emptyset\) sind, sind M und N \emph{disjunkt} + Falls \(M \cap N = \emptyset\) sind, sind M und N \emph{disjunkt}\\ + \ex $ M := \{\text{the, die, der, das}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \cap N := \{\text{der, die}\}$ \subsection{Vereinigung} \begin{align} M \cup N = \{x : x \in M \lor x \in N\} \end{align} + Die Vereinigung besteht als allen Elementen, die in $ M $ oder in $ N $ sind.\\6 + \ex $ M := \{\text{the}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \cup N := \{\text{the, der, die}\}$ + + \subsection{Differenzmenge} + \begin{align} + M \backslash N = \{x : x \in M \land x \not\in N\} + \end{align} + Die Differenzmenge besteht aus den Elementen aus $ M $, die \textbf{nicht} in $ N $ sind.\\ + \ex $ M := \{\text{the, die, der, das}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \backslash N := \{\text{the, das}\}$ + + \subsection{Satz: Regeln für Mengen} + Seien $ M, N \text{ und } Q $ Mengen, dann gelten folgende Regeln: + \begin{enumerate} + \item $ M \cap N = N \cap M $ ($\cap$ ist kommutativ) + \item $ M \cup N = N \cup M $ ($\cup$ ist kommutativ) + \item $ (M \cap N) \cap Q = M \cap (N \cap Q) $ ($\cap$ ist assoziativ) + \item $ (M \cup N) \cup Q = M \cup (N \cup Q) $ ($\cup$ ist assoziativ) + \item $ (M \cap N) \cup Q = (M \cup Q) \cap (N \cup Q) $ (distributiv) + \item $ (M \cup N) \cap Q = (M \cap Q) \cup (N \cap Q) $ (distributiv) + \item $ M \cap M = M $ (Eine Menge ist geschnitten mit sich selbst wieder die Menge) + \item $ M \cup M = M $ (Eine Menge ist vereinigt mit sich selbst wieder die Menge) + \item $ M \cap \emptyset = \emptyset $ (Eine Menge, geschnitten mit der leeren Menge, ist die leere Menge) + \item $ M \cup \emptyset = M $ (Eine Menge, vereinigt mit der leeren Menge, ist die Menge selbst) + \end{enumerate} + Zusammenfassend (1-6): Schnittmenge und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und distributiv \section{Relationen} Eine Relation ist zunächst eine Teilmenge beliebiger Mengen $M, N$. @@ -61,15 +97,15 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! \textbf{total} & $\forall x,y \in M: xRy \lor yRx$, also immer zwei Elemente in Relation stehen \end{tabu} - \emph{Beispiel antisymmetrisch}: $ 3 \le 3 \land 3 \ge 3 \Rightarrow 3 = 3$\\ + \ex antisymmetrisch: $ 3 \le 3 \land 3 \ge 3 \Rightarrow 3 = 3$\\ \subsection{Äquivalenzrelation}\label{relationen:aequivalenz} - Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} + Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} (reflexiv, symmetrisch, transitiv) zutreffen. \subsection{Ordnungsrelation}\label{relationen:ordnung} - Eine Ordnungsrelation ist besitzt die Eigenschaften total, reflexiv, - antisymmetrisch und transitiv. + Eine Relation heißt Ordnungsrelation, wenn sie total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.\\ + % TODO: halbe Ordnung/ganze Ordnung \section{Abbildungen} \subsection{Eigenschaften}\label{abb:eigenschaften} diff --git a/README.md b/README.md index 9b4e41c..4e1a4c3 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -29,7 +29,8 @@ Diese sind meist unvollständig und nur nach Lust und Laune erstellt, also Obach ### Mathematik für Informatik-Anfänger: 1. Mengen und Abbildungen 1.1. Mengenlehre - 1.2. Funktionen/Abbildungen + 1.2. Relationen + 1.3. Funktionen/Abbildungen 2. Sprache und Logik 2.1. Grundlagen 2.2. Boolesche Funktionen diff --git a/env/commands.tex b/env/commands.tex index 5fc0eb3..22cad69 100644 --- a/env/commands.tex +++ b/env/commands.tex @@ -9,7 +9,16 @@ \newcommand{\Rq}{\R^2} \newcommand{\Qq}{\Q^2} -\newcommand{\lrarr}{\Leftrightarrow} +\newcommand{\lrarr}{\leftrightarrow} +\newcommand{\larr}{\leftarrow} +\newcommand{\rarr}{\rightarrow} +\newcommand{\Lrarr}{\Leftrightarrow} +\newcommand{\Larr}{\Leftarrow} +\newcommand{\Rarr}{\Rightarrow} + +\newcommand{\ex}{\emph{Beispiel: }} +\newcommand{\anm}{\emph{Anmerkung: }} + \newcommand{\linf}{\lim\limits_{n \rightarrow{} \infty}} %running fraction with slash - requires math mode.