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@ -15,34 +15,70 @@ Die Quelldateien sind öffentlich unter \url{https://git.webschneider.org/uni/sa |
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Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! |
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\tableofcontents |
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\bigskip |
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\newpage |
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\section{Mengenlehre} |
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\subsection{Menge} |
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Eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen zu einem Ganzen |
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Eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen zu einem Ganzen\\ |
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\ex \(M := \{\text{the, die, der, das}\}\) oder \\ |
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\(M := \{x | x \text{ ein bestimmter Artikel aus Englisch oder Deutsch}\}\) |
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\subsection{Teilmenge} |
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\begin{align} |
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N \subset M \Leftrightarrow M \subset N |
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N \subset M \Lrarr M \supset N |
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\end{align} |
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\ex $ N := \{\text{the}\}$ ist eine Teilmenge von $ M $, jedoch ist $ M $ keine Teilmenge von $ N $, da nicht alle Elemente aus $ M $ in $ N $ sind. |
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\subsection{Leere Menge} |
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\begin{align} |
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O := \{\} = \emptyset |
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\end{align} |
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\ex $ O := \{x | x \text{ ein Artikel aus dem chinesischen}\} = \emptyset $\\ |
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\anm In der chinesischen Sprache gibt es keine Artikel |
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\subsection{Potzenmenge} |
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Sei \(M\) eine Menge.\\ |
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\(P(M)\) (auch \(2^M\)):= Menge von allen Teilmengen von M. |
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Sei \(l\) die Anzahl der Elemente von \(M\), so ist die |
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Anzahl der Möglichkeiten ist \(2^l\) |
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Sei \(l\) die Anzahl der Elemente von \(M\), so ist die Anzahl der Möglichkeiten ist \(2^l\)\\ |
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\ex $ Q := \{1,2,3\} \Rarr P(Q) := \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\} $ |
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\subsection{Schnittmenge} |
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\begin{align} |
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M \cap N := \{x : x \in M \land x \in N\} |
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\end{align} |
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Die Schnittmenge besteht also aus den gemeinsamen Elementen der beiden Mengen. |
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Falls \(M \cap N = \emptyset\) sind, sind M und N \emph{disjunkt} |
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Falls \(M \cap N = \emptyset\) sind, sind M und N \emph{disjunkt}\\ |
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\ex $ M := \{\text{the, die, der, das}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \cap N := \{\text{der, die}\}$ |
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\subsection{Vereinigung} |
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\begin{align} |
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M \cup N = \{x : x \in M \lor x \in N\} |
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\end{align} |
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Die Vereinigung besteht als allen Elementen, die in $ M $ oder in $ N $ sind.\\6 |
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\ex $ M := \{\text{the}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \cup N := \{\text{the, der, die}\}$ |
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\subsection{Differenzmenge} |
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\begin{align} |
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M \backslash N = \{x : x \in M \land x \not\in N\} |
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\end{align} |
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Die Differenzmenge besteht aus den Elementen aus $ M $, die \textbf{nicht} in $ N $ sind.\\ |
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\ex $ M := \{\text{the, die, der, das}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \backslash N := \{\text{the, das}\}$ |
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\subsection{Satz: Regeln für Mengen} |
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Seien $ M, N \text{ und } Q $ Mengen, dann gelten folgende Regeln: |
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\begin{enumerate} |
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\item $ M \cap N = N \cap M $ ($\cap$ ist kommutativ) |
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\item $ M \cup N = N \cup M $ ($\cup$ ist kommutativ) |
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\item $ (M \cap N) \cap Q = M \cap (N \cap Q) $ ($\cap$ ist assoziativ) |
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\item $ (M \cup N) \cup Q = M \cup (N \cup Q) $ ($\cup$ ist assoziativ) |
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\item $ (M \cap N) \cup Q = (M \cup Q) \cap (N \cup Q) $ (distributiv) |
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\item $ (M \cup N) \cap Q = (M \cap Q) \cup (N \cap Q) $ (distributiv) |
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\item $ M \cap M = M $ (Eine Menge ist geschnitten mit sich selbst wieder die Menge) |
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\item $ M \cup M = M $ (Eine Menge ist vereinigt mit sich selbst wieder die Menge) |
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\item $ M \cap \emptyset = \emptyset $ (Eine Menge, geschnitten mit der leeren Menge, ist die leere Menge) |
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\item $ M \cup \emptyset = M $ (Eine Menge, vereinigt mit der leeren Menge, ist die Menge selbst) |
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\end{enumerate} |
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Zusammenfassend (1-6): Schnittmenge und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und distributiv |
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\section{Relationen} |
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Eine Relation ist zunächst eine Teilmenge beliebiger Mengen $M, N$. |
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@ -61,15 +97,15 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! |
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\textbf{total} & $\forall x,y \in M: xRy \lor yRx$, also immer zwei Elemente in Relation stehen |
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\end{tabu} |
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\emph{Beispiel antisymmetrisch}: $ 3 \le 3 \land 3 \ge 3 \Rightarrow 3 = 3$\\ |
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\ex antisymmetrisch: $ 3 \le 3 \land 3 \ge 3 \Rightarrow 3 = 3$\\ |
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\subsection{Äquivalenzrelation}\label{relationen:aequivalenz} |
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Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} |
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Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} (reflexiv, symmetrisch, transitiv) |
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zutreffen. |
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\subsection{Ordnungsrelation}\label{relationen:ordnung} |
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Eine Ordnungsrelation ist besitzt die Eigenschaften total, reflexiv, |
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antisymmetrisch und transitiv. |
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Eine Relation heißt Ordnungsrelation, wenn sie total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.\\ |
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% TODO: halbe Ordnung/ganze Ordnung |
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\section{Abbildungen} |
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\subsection{Eigenschaften}\label{abb:eigenschaften} |
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angerstoner
6 years ago