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@ -148,23 +148,83 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! |
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$c_1 \cdot |g(n)| \le |f(n)| \le |c_2 \cdot g(n)|$. |
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\section{Graphentheorie} |
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\subsection{Kreis}\label{graph:kreis} |
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Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken $e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet. |
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Alle Kanten müssen dabei unterschiedlich sein. |
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Die Länge des Kreises beschreibt die Anzahl der Kanten oder Ecken. |
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\subsection{Ungerichtete Graphen} |
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\subsubsection{Kreis}\label{graph:kreis} |
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Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken |
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$e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet. |
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Alle Kanten müssen dabei unterschiedlich sein. |
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Die Länge des Kreises beschreibt die Anzahl der Kanten oder Ecken. |
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\subsubsection{Eulerscher Kreis}\label{graph:eulerschKreis} |
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Ein \nameref{graph:kreis} $C$ in einem Graph $G$ heißt eulersch, wenn |
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jede Kante aus G in ihm genau einmal vorkommt. |
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\subsubsection{Eulerscher Graph}\label{graph:eulersch} |
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Ein Graph heißt eulersch, wenn er einen \hyperref[subsec:eulerschKreis]{eulerschen Kreis} besitzt. |
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Jede Ecke eines eulerschen Graphen hat geraden Grad. |
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Besitzt also eine Ecke des Graphen ungeraden Grad, so ist es kein eulerscher Graph. |
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\subsubsection{Zusammenhangskomponente}\label{graph:komponente} |
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Ein maximaler, zusammenhängender Teilgraph $G^*$ eines Graphen $G$. |
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\subsubsection{Offene Eulersche Linie} |
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Ein Weg in einem Graph $G$ heißt \idx{offene Eulersche Linie}, wenn |
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jede Kante genau einmal enthalten ist und \emph{keinen} Kreis enthält. |
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\begin{satz} |
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Sei $G$ ein Graph. |
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\begin{enumerate} |
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\item Besitzt $G$ eine offene eulersche Linie, so hat $G$ |
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genau zwei Ecken ungeraden Grades. |
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\item Ist $G$ zusammenhängend und hat genau zwei Ecken ungeraden |
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Grades, so hat $G$ eine offene eulersche Linie. |
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\end{enumerate} |
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\end{satz} |
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\subsection{Eulerscher Kreis}\label{graph:eulerschKreis} |
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Ein \nameref{graph:kreis} $C$ in einem Graph $G$ heißt eulersch, wenn jede Kante aus G in ihm genau einmal vorkommt. |
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\begin{satz} |
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Ein Graph $G$ ist genau dann bipartit, wenn alle Kreise in $G$ eine |
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gerade Länge haben. |
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\end{satz} |
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\subsection{Eulerscher Graph}\label{graph:eulersch} |
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Ein Graph heißt eulersch, wenn er einen \hyperref[subsec:eulerschKreis]{eulerschen Kreis} besitzt. |
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|
Jede Ecke eines eulerschen Graphen hat geraden Grad. |
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Besitzt also eine Ecke des Graphen ungeraden Grad, so ist es kein eulerscher Graph. |
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\subsection{Bäume} |
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\subsubsection{Definition} |
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Ein \idx{Baum} ist ein zusammenhängender Graph $G$, der keine Kreise |
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positiver Länge enthält. Als \idx{Blatt} wird eine Endecke mit Grad 1 |
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bezeichnet. |
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\subsection{Zusammenhangskomponente}\label{graph:komponente} |
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Ein maximaler, zusammenhängender Teilgraph $G^*$ eines Graphen $G$. |
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\begin{satz} |
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Jeder Baum mit mindestens 2 Ecken hat eine Endecke. |
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\end{satz} |
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\begin{satz} |
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Ist $G$ ein Baum mit $n$ Ecken und $m$ Kanten, so ist $m = n-1$ |
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\end{satz} |
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\begin{satz} |
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Sei $G$ ein zusammenhängender Graph mit $n$ Ecken und $M$ Kanten. |
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Dann ist $m \ge n- 1 $ mit Gleicheit genau dann, wenn $G$ ein Baum |
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ist. |
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\end{satz} |
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\subsubsection{Binärer Baum} |
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Ein \idx{binärer Baum} ist ein Baum $G$ mit den Eigenschaften |
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\begin{enumerate}[i.] |
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\item Es gibt eine eindeutige Ecke \idx{Wurzel}, mit dem Grad 2 |
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\item alle andere Ecken haben entweder den Grad 3 oder 1 (Blätter). |
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\end{enumerate} |
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Die Höhe des Baumes ist die maximale Länge eines Weges, der die Wurzel |
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als eine Endecke hat. |
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\begin{satz} |
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\begin{enumerate} |
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\item Ein binärer Baum der Höhe $h$ hat höchstens $2^h$ Blätter. |
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\item Ein binärer Baum $G$ mit $b$ Blättern hat die Höhe |
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$h \ge \ceil{\log_2 b} $ |
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\end{enumerate} |
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\end{satz} |
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\subsection{Wurzelbaum und Suchtheorie} |
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\newcommand*{\T}{\mathcal{T}} |
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\newcommand*{\Lquer}{\overline{L}} |
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\subsubsection{Wurzelbaum} |
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Ein \idx{Wurzelbaum} ist ein Paar $(T,v)$, wobei $T$ ein Baum ist und |
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$v$ eine ausgezeichnete Ecke, als so genannte \idx{Wurzel}.\\ |
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@ -173,21 +233,45 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! |
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Die Länge des gesamten Baumes ist die maximale Länge einer Ecke. |
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\subsubsection{(n, q)-Baum} |
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Besitzt ein Baum $n$ Blätter und hat die Wurzel genau $q$ direkte |
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Besitzt ein Baum $n$ Blätter und hat die Wurzel höchstens $q$ direkte |
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Nachfolger, spricht man von einem \idx{(n,q)-Baum}. |
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Besitzt die Wurzel und jede innere Ecke genau $q$ direkte Nachfolger, |
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ist dies ein \idx{vollständiger (n, q)-Baum} |
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\begin{satz} |
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Sei $T$ ein (n, q)-Baum, wobei $n \ge 1, q \ge 2$. |
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Dann ist $l(T) = \log_q n$ |
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Dann ist $l(T) = \ceil{\log_q n}$ |
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\end{satz} |
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\subsubsection{Informationstheoretische Schranke} |
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Die Menge $\Tau(n,q)$ beschreibt alle (n, q)-Bäume. |
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Die Zahl $\log_q n = \min\{l(T)|T\in \Tau(n,q)\}$ heisst die |
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Die Menge $\T (n,q)$ beschreibt alle (n, q)-Bäume. |
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Die Zahl $\log_q n = \min\{l(T)|T\in \T(n,q)\}$ heisst die |
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\idx{informationstheoretische Schranke} bzgl. (n, q). |
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\subsubsection{Die Kraftsche Ungleichung} |
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\begin{enumerate} |
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\item Sei $T$ ein (n, q)-Baum mit Blättern $1, \ldots, n$ der Längen |
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$l_1, l_2, \ldots, l_n \in \N_0$. Dann ist $\sum_{i=1}^n |
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q^{-l_i} \le 1$ und die Gleicheit gilt genau dann, wenn $T$ |
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vollständig ist. |
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\item Sind $l_1, \ldots, l_n \in \N_0$, so dass $\sum_{j=1}^n |
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q^{-l_i} \le 1$, so existiert ein (n,q)-Baum mit Blättern $b_1, |
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\ldots, b_n$, so dass $l(b_i) = l_i, i=1,\ldots,n$ |
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\end{enumerate} |
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\subsubsection{Erwartete Länge} |
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Sei $T$ ein (n,q)-Baum mit den Blättern $1, \ldots, n$ und sei $l_i = |
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l(i)$ die Länge des i-ten Blattes. |
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Sei weiter $(p_1, \ldots, p_n) \in \R^n$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung |
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auf den Blättern, d.h. $p_i \in [0,1]$ für $i = 1, \ldots, n$ und |
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$\sum_{i=0}^n p_i = 1$. |
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Die \idx{erwartete Länge} $\Lquer(T)$ von $T$ ist definiert als |
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\[\Lquer (T) = \sum_{i=1}^n p_i l_i.\] |
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Weiter sei |
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\[\Lquer (p_1, \ldots, p_n) := \min \left\{\Lquer(t) | T \in \T(n,q)\right\}\] |
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Ein Baum heißt \idx{optimal}, falls |
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$\Lquer(T) = \Lquer(p_1, \ldots, p_n)$ |
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