Einiges von DiMa

DiMa/dima.tex

@@ -148,23 +148,83 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
     $c_1 \cdot |g(n)| \le |f(n)| \le |c_2 \cdot g(n)|$.
 
 \section{Graphentheorie}
-    \subsection{Kreis}\label{graph:kreis}
-    Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken $e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet.
-    Alle Kanten müssen dabei unterschiedlich sein.
-    Die Länge des Kreises beschreibt die Anzahl der Kanten oder Ecken.
+    \subsection{Ungerichtete Graphen}
+        \subsubsection{Kreis}\label{graph:kreis}
+        Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken
+        $e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet.
+        Alle Kanten müssen dabei unterschiedlich sein.
+        Die Länge des Kreises beschreibt die Anzahl der Kanten oder Ecken.
+
+        \subsubsection{Eulerscher Kreis}\label{graph:eulerschKreis}
+        Ein \nameref{graph:kreis} $C$ in einem Graph $G$ heißt eulersch, wenn
+        jede Kante aus G in ihm genau einmal vorkommt.
+
+        \subsubsection{Eulerscher Graph}\label{graph:eulersch}
+        Ein Graph heißt eulersch, wenn er einen \hyperref[subsec:eulerschKreis]{eulerschen Kreis} besitzt.
+        Jede Ecke eines eulerschen Graphen hat geraden Grad.
+        Besitzt also eine Ecke des Graphen ungeraden Grad, so ist es kein eulerscher Graph.
+
+        \subsubsection{Zusammenhangskomponente}\label{graph:komponente}
+        Ein maximaler, zusammenhängender Teilgraph $G^*$ eines Graphen $G$.
+
+        \subsubsection{Offene Eulersche Linie}
+        Ein Weg in einem Graph $G$ heißt \idx{offene Eulersche Linie}, wenn
+        jede Kante genau einmal enthalten ist und \emph{keinen} Kreis enthält.
+        \begin{satz}
+            Sei $G$ ein Graph.
+            \begin{enumerate}
+                \item Besitzt $G$ eine offene eulersche Linie, so hat $G$
+                    genau zwei Ecken ungeraden Grades.
+                \item Ist $G$ zusammenhängend und hat genau zwei Ecken ungeraden
+                    Grades, so hat $G$ eine offene eulersche Linie.
+            \end{enumerate}
+        \end{satz}
 
-    \subsection{Eulerscher Kreis}\label{graph:eulerschKreis}
-    Ein \nameref{graph:kreis} $C$ in einem Graph $G$ heißt eulersch, wenn jede Kante aus G in ihm genau einmal vorkommt.
+        \begin{satz}
+            Ein Graph $G$ ist genau dann bipartit, wenn alle Kreise in $G$ eine
+            gerade Länge haben.
+        \end{satz}
 
-    \subsection{Eulerscher Graph}\label{graph:eulersch}
-    Ein Graph heißt eulersch, wenn er einen \hyperref[subsec:eulerschKreis]{eulerschen Kreis} besitzt.
-    Jede Ecke eines eulerschen Graphen hat geraden Grad.
-    Besitzt also eine Ecke des Graphen ungeraden Grad, so ist es kein eulerscher Graph.
+    \subsection{Bäume}
+        \subsubsection{Definition}
+        Ein \idx{Baum} ist ein zusammenhängender Graph $G$, der keine Kreise
+        positiver Länge enthält. Als \idx{Blatt} wird eine Endecke mit Grad 1
+        bezeichnet.
 
-    \subsection{Zusammenhangskomponente}\label{graph:komponente}
-    Ein maximaler, zusammenhängender Teilgraph $G^*$ eines Graphen $G$.
+        \begin{satz}
+            Jeder Baum mit mindestens 2 Ecken hat eine Endecke.
+        \end{satz}
+
+        \begin{satz}
+            Ist $G$ ein Baum mit $n$ Ecken und $m$ Kanten, so ist $m = n-1$
+        \end{satz}
+
+        \begin{satz}
+            Sei $G$ ein zusammenhängender Graph mit $n$ Ecken und $M$ Kanten.
+            Dann ist $m \ge n- 1 $ mit Gleicheit genau dann, wenn $G$ ein Baum
+            ist.
+        \end{satz}
+
+        \subsubsection{Binärer Baum}
+        Ein \idx{binärer Baum} ist ein Baum $G$ mit den Eigenschaften
+        \begin{enumerate}[i.]
+            \item Es gibt eine eindeutige Ecke \idx{Wurzel}, mit dem Grad 2
+            \item alle andere Ecken haben entweder den Grad 3 oder 1 (Blätter).
+        \end{enumerate}
+        Die Höhe des Baumes ist die maximale Länge eines Weges, der die Wurzel
+        als eine Endecke hat.
+
+        \begin{satz}
+            \begin{enumerate}
+                \item Ein binärer Baum der Höhe $h$ hat höchstens $2^h$ Blätter.
+                \item Ein binärer Baum $G$ mit $b$ Blättern hat die Höhe
+                    $h \ge \ceil{\log_2 b} $
+            \end{enumerate}
+        \end{satz}
 
     \subsection{Wurzelbaum und Suchtheorie}
+        \newcommand*{\T}{\mathcal{T}}
+        \newcommand*{\Lquer}{\overline{L}}
         \subsubsection{Wurzelbaum}
         Ein \idx{Wurzelbaum} ist ein Paar $(T,v)$, wobei $T$ ein Baum ist und 
         $v$ eine ausgezeichnete Ecke, als so genannte \idx{Wurzel}.\\
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         Die Länge des gesamten Baumes ist die maximale Länge einer Ecke.
 
         \subsubsection{(n, q)-Baum}
-        Besitzt ein Baum $n$ Blätter und hat die Wurzel genau $q$ direkte
+        Besitzt ein Baum $n$ Blätter und hat die Wurzel höchstens $q$ direkte
         Nachfolger, spricht man von einem \idx{(n,q)-Baum}.
         Besitzt die Wurzel und jede innere Ecke genau $q$ direkte Nachfolger,
         ist dies ein \idx{vollständiger (n, q)-Baum}
 
         \begin{satz}
             Sei $T$ ein (n, q)-Baum, wobei $n \ge 1, q \ge 2$.
-            Dann ist $l(T) = \log_q n$
+            Dann ist $l(T) = \ceil{\log_q n}$
         \end{satz}
 
         \subsubsection{Informationstheoretische Schranke}
-        Die Menge $\Tau(n,q)$ beschreibt alle (n, q)-Bäume.
-        Die Zahl $\log_q n = \min\{l(T)|T\in \Tau(n,q)\}$ heisst die 
+        Die Menge $\T (n,q)$ beschreibt alle (n, q)-Bäume.
+        Die Zahl $\log_q n = \min\{l(T)|T\in \T(n,q)\}$ heisst die 
         \idx{informationstheoretische Schranke} bzgl. (n, q).
 
+        \subsubsection{Die Kraftsche Ungleichung}
+        \begin{enumerate}
+            \item Sei $T$ ein (n, q)-Baum mit Blättern $1, \ldots, n$ der Längen
+                $l_1, l_2, \ldots, l_n \in \N_0$. Dann ist $\sum_{i=1}^n
+                q^{-l_i} \le 1$ und die Gleicheit gilt genau dann, wenn $T$
+                vollständig ist.
+            \item Sind $l_1, \ldots, l_n \in \N_0$, so dass $\sum_{j=1}^n
+                q^{-l_i} \le 1$, so existiert ein (n,q)-Baum mit Blättern $b_1,
+                \ldots, b_n$, so dass $l(b_i) = l_i, i=1,\ldots,n$
+        \end{enumerate}
+
+        \subsubsection{Erwartete Länge}
+        Sei $T$ ein (n,q)-Baum mit den Blättern $1, \ldots, n$ und sei $l_i =
+        l(i)$ die Länge des i-ten Blattes.
+        Sei weiter $(p_1, \ldots, p_n) \in \R^n$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
+        auf den Blättern, d.h. $p_i \in [0,1]$ für $i = 1, \ldots, n$ und
+        $\sum_{i=0}^n p_i = 1$.
+        Die \idx{erwartete Länge} $\Lquer(T)$ von $T$ ist definiert als
+        \[\Lquer (T) = \sum_{i=1}^n p_i l_i.\]
+        Weiter sei
+        \[\Lquer (p_1, \ldots, p_n) := \min \left\{\Lquer(t) | T \in \T(n,q)\right\}\]
+        Ein Baum heißt \idx{optimal}, falls
+        $\Lquer(T) = \Lquer(p_1, \ldots, p_n)$
+
 \printindex
 \vspace*{\fill} % show license on bottom of page
 \doclicenseThis{}

env/commands.tex

@@ -10,6 +10,10 @@
 \newcommand{\Rq}{\R^2}
 \newcommand{\Qq}{\Q^2}
 
+ % round functions
+\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
+\DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor}
+
 \newcommand{\lrarr}{\leftrightarrow}
 \newcommand{\larr}{\leftarrow}
 \newcommand{\rarr}{\rightarrow}
@@ -40,4 +44,4 @@
 % Index command to show the key emphasized
 \newcommand{\idx}[1]{{\emph{#1}\index{#1}}}
 
-\newtheorem{satz}{Satz}[section]
+\newtheorem{satz}{Satz}[subsection]