diff --git a/DiMa/dima.pdf b/DiMa/dima.pdf index 20bbb30..3f0885f 100644 Binary files a/DiMa/dima.pdf and b/DiMa/dima.pdf differ diff --git a/DiMa/dima.tex b/DiMa/dima.tex index d978006..ef23a14 100644 --- a/DiMa/dima.tex +++ b/DiMa/dima.tex @@ -148,23 +148,83 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! $c_1 \cdot |g(n)| \le |f(n)| \le |c_2 \cdot g(n)|$. \section{Graphentheorie} - \subsection{Kreis}\label{graph:kreis} - Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken $e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet. - Alle Kanten müssen dabei unterschiedlich sein. - Die Länge des Kreises beschreibt die Anzahl der Kanten oder Ecken. + \subsection{Ungerichtete Graphen} + \subsubsection{Kreis}\label{graph:kreis} + Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken + $e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet. + Alle Kanten müssen dabei unterschiedlich sein. + Die Länge des Kreises beschreibt die Anzahl der Kanten oder Ecken. + + \subsubsection{Eulerscher Kreis}\label{graph:eulerschKreis} + Ein \nameref{graph:kreis} $C$ in einem Graph $G$ heißt eulersch, wenn + jede Kante aus G in ihm genau einmal vorkommt. + + \subsubsection{Eulerscher Graph}\label{graph:eulersch} + Ein Graph heißt eulersch, wenn er einen \hyperref[subsec:eulerschKreis]{eulerschen Kreis} besitzt. + Jede Ecke eines eulerschen Graphen hat geraden Grad. + Besitzt also eine Ecke des Graphen ungeraden Grad, so ist es kein eulerscher Graph. + + \subsubsection{Zusammenhangskomponente}\label{graph:komponente} + Ein maximaler, zusammenhängender Teilgraph $G^*$ eines Graphen $G$. + + \subsubsection{Offene Eulersche Linie} + Ein Weg in einem Graph $G$ heißt \idx{offene Eulersche Linie}, wenn + jede Kante genau einmal enthalten ist und \emph{keinen} Kreis enthält. + \begin{satz} + Sei $G$ ein Graph. + \begin{enumerate} + \item Besitzt $G$ eine offene eulersche Linie, so hat $G$ + genau zwei Ecken ungeraden Grades. + \item Ist $G$ zusammenhängend und hat genau zwei Ecken ungeraden + Grades, so hat $G$ eine offene eulersche Linie. + \end{enumerate} + \end{satz} - \subsection{Eulerscher Kreis}\label{graph:eulerschKreis} - Ein \nameref{graph:kreis} $C$ in einem Graph $G$ heißt eulersch, wenn jede Kante aus G in ihm genau einmal vorkommt. + \begin{satz} + Ein Graph $G$ ist genau dann bipartit, wenn alle Kreise in $G$ eine + gerade Länge haben. + \end{satz} - \subsection{Eulerscher Graph}\label{graph:eulersch} - Ein Graph heißt eulersch, wenn er einen \hyperref[subsec:eulerschKreis]{eulerschen Kreis} besitzt. - Jede Ecke eines eulerschen Graphen hat geraden Grad. - Besitzt also eine Ecke des Graphen ungeraden Grad, so ist es kein eulerscher Graph. + \subsection{Bäume} + \subsubsection{Definition} + Ein \idx{Baum} ist ein zusammenhängender Graph $G$, der keine Kreise + positiver Länge enthält. Als \idx{Blatt} wird eine Endecke mit Grad 1 + bezeichnet. - \subsection{Zusammenhangskomponente}\label{graph:komponente} - Ein maximaler, zusammenhängender Teilgraph $G^*$ eines Graphen $G$. + \begin{satz} + Jeder Baum mit mindestens 2 Ecken hat eine Endecke. + \end{satz} + + \begin{satz} + Ist $G$ ein Baum mit $n$ Ecken und $m$ Kanten, so ist $m = n-1$ + \end{satz} + + \begin{satz} + Sei $G$ ein zusammenhängender Graph mit $n$ Ecken und $M$ Kanten. + Dann ist $m \ge n- 1 $ mit Gleicheit genau dann, wenn $G$ ein Baum + ist. + \end{satz} + + \subsubsection{Binärer Baum} + Ein \idx{binärer Baum} ist ein Baum $G$ mit den Eigenschaften + \begin{enumerate}[i.] + \item Es gibt eine eindeutige Ecke \idx{Wurzel}, mit dem Grad 2 + \item alle andere Ecken haben entweder den Grad 3 oder 1 (Blätter). + \end{enumerate} + Die Höhe des Baumes ist die maximale Länge eines Weges, der die Wurzel + als eine Endecke hat. + + \begin{satz} + \begin{enumerate} + \item Ein binärer Baum der Höhe $h$ hat höchstens $2^h$ Blätter. + \item Ein binärer Baum $G$ mit $b$ Blättern hat die Höhe + $h \ge \ceil{\log_2 b} $ + \end{enumerate} + \end{satz} \subsection{Wurzelbaum und Suchtheorie} + \newcommand*{\T}{\mathcal{T}} + \newcommand*{\Lquer}{\overline{L}} \subsubsection{Wurzelbaum} Ein \idx{Wurzelbaum} ist ein Paar $(T,v)$, wobei $T$ ein Baum ist und $v$ eine ausgezeichnete Ecke, als so genannte \idx{Wurzel}.\\ @@ -173,21 +233,45 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! Die Länge des gesamten Baumes ist die maximale Länge einer Ecke. \subsubsection{(n, q)-Baum} - Besitzt ein Baum $n$ Blätter und hat die Wurzel genau $q$ direkte + Besitzt ein Baum $n$ Blätter und hat die Wurzel höchstens $q$ direkte Nachfolger, spricht man von einem \idx{(n,q)-Baum}. Besitzt die Wurzel und jede innere Ecke genau $q$ direkte Nachfolger, ist dies ein \idx{vollständiger (n, q)-Baum} \begin{satz} Sei $T$ ein (n, q)-Baum, wobei $n \ge 1, q \ge 2$. - Dann ist $l(T) = \log_q n$ + Dann ist $l(T) = \ceil{\log_q n}$ \end{satz} \subsubsection{Informationstheoretische Schranke} - Die Menge $\Tau(n,q)$ beschreibt alle (n, q)-Bäume. - Die Zahl $\log_q n = \min\{l(T)|T\in \Tau(n,q)\}$ heisst die + Die Menge $\T (n,q)$ beschreibt alle (n, q)-Bäume. + Die Zahl $\log_q n = \min\{l(T)|T\in \T(n,q)\}$ heisst die \idx{informationstheoretische Schranke} bzgl. (n, q). + \subsubsection{Die Kraftsche Ungleichung} + \begin{enumerate} + \item Sei $T$ ein (n, q)-Baum mit Blättern $1, \ldots, n$ der Längen + $l_1, l_2, \ldots, l_n \in \N_0$. Dann ist $\sum_{i=1}^n + q^{-l_i} \le 1$ und die Gleicheit gilt genau dann, wenn $T$ + vollständig ist. + \item Sind $l_1, \ldots, l_n \in \N_0$, so dass $\sum_{j=1}^n + q^{-l_i} \le 1$, so existiert ein (n,q)-Baum mit Blättern $b_1, + \ldots, b_n$, so dass $l(b_i) = l_i, i=1,\ldots,n$ + \end{enumerate} + + \subsubsection{Erwartete Länge} + Sei $T$ ein (n,q)-Baum mit den Blättern $1, \ldots, n$ und sei $l_i = + l(i)$ die Länge des i-ten Blattes. + Sei weiter $(p_1, \ldots, p_n) \in \R^n$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung + auf den Blättern, d.h. $p_i \in [0,1]$ für $i = 1, \ldots, n$ und + $\sum_{i=0}^n p_i = 1$. + Die \idx{erwartete Länge} $\Lquer(T)$ von $T$ ist definiert als + \[\Lquer (T) = \sum_{i=1}^n p_i l_i.\] + Weiter sei + \[\Lquer (p_1, \ldots, p_n) := \min \left\{\Lquer(t) | T \in \T(n,q)\right\}\] + Ein Baum heißt \idx{optimal}, falls + $\Lquer(T) = \Lquer(p_1, \ldots, p_n)$ + \printindex \vspace*{\fill} % show license on bottom of page \doclicenseThis{} diff --git a/env/commands.tex b/env/commands.tex index 345bce6..00e4216 100644 --- a/env/commands.tex +++ b/env/commands.tex @@ -10,6 +10,10 @@ \newcommand{\Rq}{\R^2} \newcommand{\Qq}{\Q^2} + % round functions +\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil} +\DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor} + \newcommand{\lrarr}{\leftrightarrow} \newcommand{\larr}{\leftarrow} \newcommand{\rarr}{\rightarrow} @@ -40,4 +44,4 @@ % Index command to show the key emphasized \newcommand{\idx}[1]{{\emph{#1}\index{#1}}} -\newtheorem{satz}{Satz}[section] +\newtheorem{satz}{Satz}[subsection]