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\textbf{Fakt:} Seien $(G, \cdot)$ und $(H, *)$ Gruppen. Dann ist $(G \times H, 0)$ mit $(g,h)(\in(G\times H))\circ(g',h')(\in(G\times H))=(g \cdot g', h*h')$ eine Gruppe
\textbf{Fakt:} Seien $(G, \cdot)$ und $(H, *)$ Gruppen. Dann ist $(G \times H, 0)$ mit $(g,h)(\in(G\times H))\circ(g',h')(\in(G\times H))=(g \cdot g', h*h')$ eine Gruppe
\subsubsection{Identitätsfunktion}
\subsubsection{Identitätsfunktion}
TODO
\subsubsection{Satz: Eigenschaften von Gruppen}
In jeder Gruppe gilt:\footnote{Beweise gab es in der VL, zu finden in den Notizen zu Gruppen im studIP}
\begin{enumerate}[a.)]
\item$\exists! e \in G $ (Gruppe enthält genau ein neutrales Element)
\item$\forall a \in G $ gilt $ a * e = a $
\item$\forall a \in G, \exists! a' $ mit $ a' * a = e $ (es existieren alle inversen Elemente)
\item$ a' * a = e \Rarr a * a' = e $
\item$ a * b = a * c \Rightarrow b = c $ und $ b * a = c * a \Rarr b = c $
\end{enumerate}
\subsubsection{Definition: Untergruppen}
Eine Teilmenge $ U \subset G $ einer Gruppe $(G, *)$ heißt \idx{Untergruppe} von G, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
\begin{itemize}
\item$ U \neq\emptyset$
\item$ a,b \in U \Rarr a * b \in U $
\item$ a \in U \Rarr a^{-1}\in U $
\end{itemize}
\subsubsection{Definition: Gruppenhomomorphismus}
\textbf{i)} Eine Abbildung $ f:G\rarr H $ zwischen $(G, *)$ und $(H, \circ)$ heißt \idx{Gruppenhomomorphismus}, wenn $\forall a,b \in G $ stets $ f(a*b)= f(a)\circ f(b)$ gilt.\\
\textbf{ii)} Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus heißt \idx{Isomorphismus}. Falls $ f: G \rarr H $ ein Isomorphismus ist, schreibt man $ f:G \tilde{\rarr} H$.
angerstoner
7 years ago