diff --git a/MafIA1/mafia.pdf b/MafIA1/mafia.pdf
index fc054f7..69ad99d 100644
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index 65e8aa1..decaf0e 100644
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+++ b/MafIA1/mafia.tex
@@ -367,7 +367,31 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
     	\textbf{Fakt:} Seien $ (G, \cdot) $ und $ (H, *) $ Gruppen. Dann ist $ (G \times H, 0) $ mit $ (g,h) (\in (G\times H)) \circ (g',h')  (\in (G\times H))  = (g \cdot g', h*h') $ eine Gruppe 
     	
     	\subsubsection{Identitätsfunktion}
-
+    		TODO
+    	
+    	\subsubsection{Satz: Eigenschaften von Gruppen}
+    	In jeder Gruppe gilt:\footnote{Beweise gab es in der VL, zu finden in den Notizen zu Gruppen im studIP}
+    	\begin{enumerate}[a.)]
+    		\item $ \exists ! e \in G $ (Gruppe enthält genau ein neutrales Element)
+    		\item $ \forall a \in G $ gilt $ a * e = a $ 
+    		\item $ \forall a \in G, \exists! a' $ mit $ a' * a = e $ (es existieren alle inversen Elemente)
+    		\item $ a' * a	= e \Rarr a * a' = e $
+    		\item $ a * b = a * c \Rightarrow b = c $ und $ b * a = c * a \Rarr b = c $
+       	\end{enumerate}
+       	\subsubsection{Definition: Untergruppen}
+       	Eine Teilmenge $ U \subset G $ einer Gruppe $ (G, *) $ heißt \idx{Untergruppe} von G, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
+       	\begin{itemize}
+       		\item $ U \neq \emptyset $
+       		\item $ a,b \in U \Rarr a * b \in U $
+       		\item $ a \in U \Rarr a^{-1} \in U $
+   		\end{itemize}
+   	
+   		\subsubsection{Definition: Gruppenhomomorphismus}
+			\textbf{i)} Eine Abbildung $ f:G\rarr H $ zwischen $ (G, *) $ und $ (H, \circ) $ heißt \idx{Gruppenhomomorphismus}, wenn $ \forall a,b \in G $ stets $ f(a*b) = f(a) \circ f(b) $ gilt.\\
+			\textbf{ii)} Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus heißt \idx{Isomorphismus}. Falls $ f: G \rarr H $ ein Isomorphismus ist, schreibt man $ f:G \tilde{\rarr} H$.
+			
+			
+			
 \section{Vektorräume}\label{vektorraum}
     \subsection{Vektorraum}\label{vektorraum:def}
         Eine nichtleere Menge $V$ heißt Vektorraum über einem Körper $\K$, wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:\\
diff --git a/README.md b/README.md
index 52d6723..23c5028 100644
--- a/README.md
+++ b/README.md
@@ -28,8 +28,6 @@ Diese sind meist unvollständig und nur nach Lust und Laune erstellt, also Obach
 
 ### Mathematik für Informatik-Anfänger:
  3. Zahlen  
-  3.1. Peano-Axiome  
-  3.2. Induktion  
   3.3. Gruppen  
   3.4. Weitere Strukturen  
   3.5. Rationale Zahlen  
@@ -61,3 +59,7 @@ Diese sind meist unvollständig und nur nach Lust und Laune erstellt, also Obach
  2. Sprache und Logik  
   2.1. Grundlagen  
   2.2. Boolesche Funktionen  
+
+ 3. Zahlen  
+  3.1. Peano-Axiome  
+  3.2. Induktion