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\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\input{../env/packages}
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\input{../env/commands}
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\input{../env/meta}
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\begin{document}
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\title{Zusammenfassung Diskrete Mathematik}
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\maketitle
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\section*{Vorwort}
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Dieses Dokument dient zur kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Sätze und Definitionen.
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Ich füge hier nur nach Lust und Laune Dinge ein, so dass dies in keinster Weise als vollständig oder stets korrekt angesehen werden darf.
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Die Quelldateien sind öffentlich unter \url{https://git.webschneider.org/uni/sammlung} einsehbar.
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Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
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\tableofcontents
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\bigskip
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\section{Kombinatorik}
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\subsection{Binomialkoeffizient}\label{kombi:binomial}
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Der \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient}{Binomialkoeffizient}
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dient dazu, die möglichen Kombinationen von $k$ Objekten aus insgesamt
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$n$ verschiedenen Elementen zu ermitteln.
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Dabei ist die Reihenfolge unerheblich und es wird nicht zurückgelegt.
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Die Definition ist wie folgt:
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\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
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\subsection*{Kombination mit Wiederholung}\label{kombi:mitWiederholung}
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Wenn die Reihenfolge egal ist und Wiederholungen erlaubt sind, wird
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eine angepasste Version des Binomialkoeffizienten genutzt:
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\[ \binom{n+k-1}{k} \]
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\subsection{Wann nehme ich was?}\label{kombi:wannwas}
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\begin{tabular}{ll}
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\textbf{Reihenfolge egal, ohne Zurücklegen} & \nameref{kombi:binomial}\\
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\textbf{Reihenfolge egal, mit Zurücklegen} & \nameref{kombi:mitWiederholung}\\
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\end{tabular}
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\section{Graphentheorie}
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\subsection{Kreis}\label{graph:kreis}
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Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken $e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet.
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Alle Kanten müssen dabei unterschiedlich sein.
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Die Länge des Kreises beschreibt die Anzahl der Kanten oder Ecken.
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\subsection{Eulerscher Kreis}\label{graph:eulerschKreis}
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Ein \nameref{graph:kreis} $C$ in einem Graph $G$ heißt eulersch, wenn jede Kante aus G in ihm genau einmal vorkommt.
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\subsection{Eulerscher Graph}\label{graph:eulersch}
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Ein Graph heißt eulersch, wenn er einen \hyperref[subsec:eulerschKreis]{eulerschen Kreis} besitzt.
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Jede Ecke eines eulerschen Graphen hat geraden Grad.
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Besitzt also eine Ecke des Graphen ungeraden Grad, so ist es kein eulerscher Graph.
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\subsection{Zusammenhangskomponente}\label{graph:komponente}
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Ein maximaler, zusammenhängender Teilgraph $G^*$ eines Graphen $G$.
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\vspace*{\fill} % show license on bottom of page
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\doclicenseThis{}
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\end{document}
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