Permutationen

.gitignore

@@ -1,4 +1,4 @@
-*.swp
+## Core latex/pdflatex auxiliary files:
 *.aux
 *.lof
 *.log
@@ -10,9 +10,216 @@
 *.fot
 *.cb
 *.cb2
-*.fdb_latexmk
-*.xdv
+
+## Intermediate documents:
 *.dvi
-*.synctex.gz
+*.xdv
+*-converted-to.*
+# these rules might exclude image files for figures etc.
+# *.ps
+# *.eps
+# *.pdf
+
+## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:"
+.pdf
+
+## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber):
 *.bbl
+*.bcf
 *.blg
+*-blx.aux
+*-blx.bib
+*.run.xml
+
+## Build tool auxiliary files:
+*.fdb_latexmk
+*.synctex
+*.synctex(busy)
+*.synctex.gz
+*.synctex.gz(busy)
+*.pdfsync
+
+## Auxiliary and intermediate files from other packages:
+# algorithms
+*.alg
+*.loa
+
+# achemso
+acs-*.bib
+
+# amsthm
+*.thm
+
+# beamer
+*.nav
+*.pre
+*.snm
+*.vrb
+
+# changes
+*.soc
+
+# cprotect
+*.cpt
+
+# elsarticle (documentclass of Elsevier journals)
+*.spl
+
+# endnotes
+*.ent
+
+# fixme
+*.lox
+
+# feynmf/feynmp
+*.mf
+*.mp
+*.t[1-9]
+*.t[1-9][0-9]
+*.tfm
+
+#(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar
+*.end
+*.?end
+*.[1-9]
+*.[1-9][0-9]
+*.[1-9][0-9][0-9]
+*.[1-9]R
+*.[1-9][0-9]R
+*.[1-9][0-9][0-9]R
+*.eledsec[1-9]
+*.eledsec[1-9]R
+*.eledsec[1-9][0-9]
+*.eledsec[1-9][0-9]R
+*.eledsec[1-9][0-9][0-9]
+*.eledsec[1-9][0-9][0-9]R
+
+# glossaries
+*.acn
+*.acr
+*.glg
+*.glo
+*.gls
+*.glsdefs
+
+# gnuplottex
+*-gnuplottex-*
+
+# gregoriotex
+*.gaux
+*.gtex
+
+# hyperref
+*.brf
+
+# knitr
+*-concordance.tex
+# TODO Comment the next line if you want to keep your tikz graphics files
+*.tikz
+*-tikzDictionary
+
+# listings
+*.lol
+
+# makeidx
+*.idx
+*.ilg
+*.ind
+*.ist
+
+# minitoc
+*.maf
+*.mlf
+*.mlt
+*.mtc[0-9]*
+*.slf[0-9]*
+*.slt[0-9]*
+*.stc[0-9]*
+
+# minted
+_minted*
+*.pyg
+
+# morewrites
+*.mw
+
+# nomencl
+*.nlo
+
+# pax
+*.pax
+
+# pdfpcnotes
+*.pdfpc
+
+# sagetex
+*.sagetex.sage
+*.sagetex.py
+*.sagetex.scmd
+
+# scrwfile
+*.wrt
+
+# sympy
+*.sout
+*.sympy
+sympy-plots-for-*.tex/
+
+# pdfcomment
+*.upa
+*.upb
+
+# pythontex
+*.pytxcode
+pythontex-files-*/
+
+# thmtools
+*.loe
+
+# TikZ & PGF
+*.dpth
+*.md5
+*.auxlock
+
+# todonotes
+*.tdo
+
+# easy-todo
+*.lod
+
+# xindy
+*.xdy
+
+# xypic precompiled matrices
+*.xyc
+
+# endfloat
+*.ttt
+*.fff
+
+# Latexian
+TSWLatexianTemp*
+
+## Editors:
+# WinEdt
+*.bak
+*.sav
+
+# Texpad
+.texpadtmp
+
+# Kile
+*.backup
+
+# KBibTeX
+*~[0-9]*
+
+# auto folder when using emacs and auctex
+./auto/*
+*.el
+
+# expex forward references with \gathertags
+*-tags.tex
+
+# standalone packages
+*.sta

DiMa/dima.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
+\documentclass[a4paper,parskip=half,12pt]{scrartcl}
 \input{../env/packages}
 \input{../env/commands}
 \input{../env/meta}
@@ -45,9 +45,12 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
     \subsection{Zählformen}\label{kombi:counting}
         Bei endlichen Mengen gibt $|A|$ die Anzahl der Elemente (\idx{Kardinalität}) an.
 
-        \subsubsection{Summenformel}\label{kombi:summenformel}
-        Bei endlichen Mengen $A,B$ gilt die \emph{Summenformel}:
+        \subsubsection{Summenformel und Produktformel}
+        Bei endlichen Mengen $A,B$ gilt die \idx{Summenformel}:
         \[|A\cup B| = |A|+|B| - |A \cap B| \]
+        Ausserdem gilt die \idx{Produktformel}, auch für eine endliche Menge
+        von Mengen:
+        \[|A \times B| = |A| \cdot |B| \]
 
         \subsubsection{Binomialkoeffizient}\label{kombi:binomial}
         Der \idx{Binomialkoeffizient}
@@ -57,6 +60,28 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
         Die Definition ist wie folgt:
         \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
 
+        \subsubsection{Binomialsatz}\label{kombi:binomsatz}
+        Seien $x, y \in \R$ und $n \in \N$. Es gilt:
+        \[{(x+y)}^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \]
+
+        \subsubsection{Siebformel}\label{kombi:sieb}
+        Mithilfe der \idx{Siebformel} kann die Kardinalität einer Menge durch
+        die Kardinalitäten ihrer Teilmengen bestimmt werden.
+        \[|A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_s| = \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 - \alpha_4 \pm \ldots + {(-1)}^{s-1}\cdot \alpha_s \]
+        Dabei werden die $\alpha$ berechnet, indem man den Durchschnitt von je $i$ Mengen
+        bildet und deren Mächtigkeit summiert.
+
+        \subsubsection{Permutationen}\label{kombi:perm}
+        Eine \idx{Permutation} von $n \in \N$ Elementen $\pi:\{1, \ldots, n\} \mapsto \{1, \ldots, n\}$
+        ist eine Bijektion.
+        Ein Element $k$ daraus heißt \idx{Fixpunkt}, wenn $\pi(k) = k$ ist.
+
+        \paragraph{Anzahl der Permutationen}
+        Von $n$ Elementen gibt es genau $n!{}$ Permutationen, und ${(n-1)}!{}$ Permutationen
+        mit dem Fixpunkt $k$.
+        Die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen ist
+        \[n!\frac{n!}{1!} + \frac{n!}{2} - \frac{n!}{3!} + \cdots + {(-1)}^n\frac{n!}{n!} = \sum_{k=0}^{n}{(-1)}^k\frac{n!}{n!} \]
+
         \subsubsection{Kombination mit Wiederholung}\label{kombi:mitWiederholung}
         Wenn die Reihenfolge egal ist und Wiederholungen erlaubt sind, wird
         eine angepasste Version des Binomialkoeffizienten genutzt: