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13
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@ -17,6 +17,19 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
\tableofcontents \tableofcontents
\bigskip \bigskip
\section{Abbildungen}
Man beachte auch das \href{https://git.webschneider.org/uni/sammlung/src/master/MafIA1/mafia.pdf}{Mafia-Skript}.
\subsection{Kompositionen}
Kompositionen von Funktionen sind \emph{assoziativ}.
Sei $f: X \rightarrow Y$ eine Funktion:
\begin{enumerate}[i.]
\item $f $ ist injektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $g \circ f = id_x$
\item $f$ ist surjektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $f \circ g = id_y$
\item $f$ ist bijektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $g \circ f = id_x, f \circ g = id_y$
\end{enumerate}
\section{Kombinatorik} \section{Kombinatorik}
\subsection{Binomialkoeffizient}\label{kombi:binomial} \subsection{Binomialkoeffizient}\label{kombi:binomial}
Der \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient}{Binomialkoeffizient} Der \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient}{Binomialkoeffizient}

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MafIA1/mafia.pdf

66
MafIA1/mafia.tex

@ -88,6 +88,72 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
Ein $y$ kann also durch mehrere $x$ getroffen werden, es gibt jedoch kein Ein $y$ kann also durch mehrere $x$ getroffen werden, es gibt jedoch kein
$y$, zu dem es keinen $x$-Wert gibt. $y$, zu dem es keinen $x$-Wert gibt.
\subsubsection{Beweise}
Nachfolgend betrachten wir $f: \R \rightarrow \R, x \mapsto mx+b, m\ne 0$.\\
Um die \emph{Injektivität} einer Funktion zu beweisen, nehmen wir
die umgekehrte Definition, also $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$.
\begin{proof}
\emph{Zu zeigen:} $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$\\
Sei $f(x) = f(y)$ mit $x,y \in \R$ beliebig.
\begin{align*}
f(x) &= f(y)\\
mx+b &= my+b\\
mx &= my\\
x &= y
\end{align*}
Da $x=y$, ist $f$ injektiv.
\end{proof}
Um \emph{Surjektivität} zu zeigen, wird zunächst die Definition von
$x$ ermittelt:
\begin{align*}
f(x) &= y \\
mx+b &= y \\
mx &= y - b \\
x &= \frac{y-b}{m}
\end{align*}
Diese Definition macht man sich nun im Beweis zu nutze, um $f(x) = y$
für beliebige $y$ zu zeigen:
\begin{proof}
Sei $y \in \R$ beliebig. Aus vorheriger Berechnung ist bekannt:
$x = \frac{y-b}{m}$
\begin{align*}
f(x) = f\left(\frac{y-b}{m}\right) = m\cdot \frac{y-b}{m} + b
= y - b + b = y
\end{align*}
Daraus resultiert, dass $f$ surjektiv ist.
\end{proof}
Da $f$ surjektiv und injektiv ist, folgt auch die \emph{Surjektivität}
für $f$.
\section{Zahlen}\label{zahlen}
\subsection{Natürliche Zahlen}
\subsubsection{Peano-Axiome}
Definition der natürlichen Zahlen durch Peano:
\begin{enumerate}
\item $0 \in \N$
\item es gibt eine Nachfolgerabbildung $succ: \N \rightarrow \N \backslash \{0\}$
\item $succ$ ist injektiv
\item Ist $M \subseteq \N$ mit
\begin{enumerate}[i.]
\item $0 \in M$
\item $m \in M \Rightarrow succ(m) \in M \forall m \in M$
\end{enumerate}
so gilt $M= \N$.
\end{enumerate}
\subsection{Gruppen}\label{zahlen:gruppen}
Eine nichtleere Menge $G$ mit einer Verknüpfung $\circ$ heißt Gruppe,
wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:
\begin{enumerate}
\item Assoziativität von $\circ$, also $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \; \forall a,b,c \in G$
\item Es existiert ein neutrales Element $e$, für das gilt: $e \in G: a \circ e =a \; \forall a \in G$
\item Zu jedem Element gibt es ein Inverses $a^{-1}$, für das gilt: $a \circ a^{-1} = e$
\end{enumerate}
Gilt darüber hinaus die \emph{Kommutativität}
\[a \circ b = b \circ a \forall a,b \in G \]
heißt die Gruppe abelsch oder kommutativ.
\section{Vektorräume}\label{vektorraum} \section{Vektorräume}\label{vektorraum}
\subsection{Vektorraum}\label{vektorraum:def} \subsection{Vektorraum}\label{vektorraum:def}
Eine nichtleere Menge $V$ heißt Vektorraum über einem Körper $\K$, wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:\\ Eine nichtleere Menge $V$ heißt Vektorraum über einem Körper $\K$, wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:\\

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