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DiMa/dima.tex

@@ -93,6 +93,36 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
             \textbf{Reihenfolge egal, mit Zurücklegen} & \nameref{kombi:mitWiederholung}\\
         \end{tabular}
 
+\section{Rekursion}
+    \subsection{Lineare Rekursion}
+    Angenommen $T : \N_0 \rightarrow \R $ erfüllt die \idx{lineare Rekursion}
+    \begin{align*}
+        T(n) &= r \cdot T(n-1) + a, \; a,r \in \R, n \in \N\\
+        T(1) &= b.
+    \end{align*}
+    Dann ist die Lösung:
+    \begin{align*}
+        T(n) &= r^n T(0) + a \sum_{i=0}^{a-1} r^2, \; n \in \N_0, r = 1 \\
+        T(n) &= r^a T(0) + a \frac{1-r^n}{1-r}, \text{\ für } r \ne 1
+    \end{align*}
+
+    \subsection{Wachstum von Funktionen}
+    Seien $f,g : \N_0 \rightarrow \R$.\\
+    \idx{Abschätzung nach oben}\\
+    Eine Funktion kann nach oben asymptotisch abgeschätzt werden, wenn
+    $\exists c > 0$, s.d. $|f(n)| \le c \cdot |g(n)|, \text{\ für } n \ge n_0$.
+    Man schreibt dann $f(n) = O(g(n))$, $O(g(n))$ enthält also alle Funktionen,
+    durch die $f(n)$ nach oben asymptotisch abgeschätzt wird.
+
+    \idx{Abschätzung nach unten}\\
+    Wenn $\exists c > 0$, so dass $|f(n)| \ge c \cdot |g(n)|$, schreibt man
+    $f(n) = \Omega(g(n))$. So wächst $f(n)$ also schneller als $g(n)$.
+
+    \idx{Abschätzung nach oben und unten}
+    Die Kombination von $O$ und $\Omega$ heißt $\Theta$.
+    Also ist $f(n) = \Theta$, wenn $\exists c_1, c_2$, so dass
+    $c_1 \cdot |g(n)| \le |f(n)| \le |c_2 \cdot g(n)|$.
+
 \section{Graphentheorie}
     \subsection{Kreis}\label{graph:kreis}
     Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken $e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet.
@@ -110,6 +140,31 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
     \subsection{Zusammenhangskomponente}\label{graph:komponente}
     Ein maximaler, zusammenhängender Teilgraph $G^*$ eines Graphen $G$.
 
+    \subsection{Wurzelbaum und Suchtheorie}
+        \subsubsection{Wurzelbaum}
+        Ein \idx{Wurzelbaum} ist ein Paar $(T,v)$, wobei $T$ ein Baum ist und 
+        $v$ eine ausgezeichnete Ecke, als so genannte \idx{Wurzel}.\\
+        Die \idx{Länge einer Ecke} $l(e), e \in E$ bezeichnet den eindeutigen Weg
+        von $v$ nach $e$.
+        Die Länge des gesamten Baumes ist die maximale Länge einer Ecke.
+
+        \subsubsection{(n, q)-Baum}
+        Besitzt ein Baum $n$ Blätter und hat die Wurzel genau $q$ direkte
+        Nachfolger, spricht man von einem \idx{(n,q)-Baum}.
+        Besitzt die Wurzel und jede innere Ecke genau $q$ direkte Nachfolger,
+        ist dies ein \idx{vollständiger (n, q)-Baum}
+
+        \newtheorem{satz}{Satz}[section]
+        \begin{satz}
+            Sei $T$ ein (n, q)-Baum, wobei $n \ge 1, q \ge 2$.
+            Dann ist $l(T) = \log_q n$
+        \end{satz}
+
+        \subsubsection{Informationstheoretische Schranke}
+        Die Menge $\Tau(n,q)$ beschreibt alle (n, q)-Bäume.
+        Die Zahl $\log_q n = \min\{l(T)|T\in \Tau(n,q)\}$ heisst die 
+        \idx{informationstheoretische Schranke} bzgl. (n, q).
+
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