shit

MafIA1/mafia.tex

@@ -254,8 +254,48 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
 				\item Beweis durch vollstaendige Induktion
 			\end{enumerate}
 		
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+		\subsection{Boolesche Funktionen}
+			Sei $ B := \{0,1\} $. Dann existiert eine Abbildung $ f: B^n \rarr B $.\\
+			\ex $ f(A) = \lnot(A) $ 
+		
+		\subsubsection{Prädikatenlogik}	
+			Sei $ P $ ein Prädikat auf $ M $ 
+			\begin{itemize}
+				\item $ P $ ist erfüllbar, wenn $ P(x) $ wahr ist für mindestens ein $ x \in M $
+				\subitem $ \exists x \in M $ sodass $ P(x) $ wahr ist
+				\item $ P $ ist allgemeingültig, wenn $ P(x) $ wahr ist, wenn $ x \in M $
+				\subitem $ (\forall x \in M) P(x) $ ist wahr
+			\end{itemize}
+		
+		\subsection{Negation von Quantoren}
+			\begin{itemize}
+				\item $ \lnot (P(x) \forall x\in M) \Lrarr \exists x \in M $ sodass $ \lnot P(x) $
+				\item $ \lnot (\exists x \in M $ sodass $ P(x)) \Lrarr \forall x \in M, \lnot P(x) $
+			\end{itemize}
+		
+		\subsection{Mengen und Logik - Bitvektoren}
+			Sei $ M := {x_1, \dots, x_n}, N \subseteq M $. Bitvektoren $ B_N := (b_1, \dots, b_n), b_j =  \begin{cases} &  1, \text{ falls } x_j \in N \\
+			& 0, \text{ falls } x_j \not\in N \end{cases} $
+			Seien $ K $ und $ L \subseteq M, L \cap K, L \cup K $, dann sind:
+			\begin{itemize}
+				\item $ B_{L\cap K} = B_L \land B_K $
+				\item $ B_{L\cup K} = B_L \lor B_K $
+				\item $ B_{L^0} = 1 - B_L $ (Bitinversion)
+				\item $ \overline{L} = M \backslash L $
+				\item $ L^0 = M \backslash L $
+			\end{itemize} 	
+			\anm Die Anzahl aller möglichen Teilmengen von $ M = \{x_1, \dots, x_n\} $ (bei endlicher Potenzmenge) ist äquivalent zur Anzahl der Bitvektoren mit $ m $ Komponenten
+			
+		\subsection{Mächtigkeit}
+			\cdef Zwei Mengen $ M $ und $ \Omega $ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung $ f:M \rarr \Omega $ gibt\\
+			\ther
+			\begin{enumerate}[a)]
+				\item Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Mengen
+				\item Endliche Mengen mit gleicher Anzahl an Elementen sind gleichmächtig
+			\end{enumerate}
+			\ex Sei $ M := \{x_1, \dots, x_n\} $\\
+			$ |P(M)| = |P(B_M)| = 2^M $
+			
 \section{Zahlen}\label{zahlen}
     \subsection{Natürliche Zahlen}
         \subsubsection{Peano-Axiome}