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Schneider 7 years ago
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  5. 9
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BIN
MafIA1/mafia.pdf

74
MafIA1/mafia.tex

@ -0,0 +1,74 @@
\documentclass[a4paper,11pt]{scrartcl}
\input{../env/packages}
\input{../env/commands}
\input{../env/meta}
\begin{document}
\title{Zusammenfassung MafIA 1}
\maketitle
\tableofcontents
\bigskip
\section{Mengenlehre}
\subsection{Menge}
Eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen zu einem Ganzen
\subsection{Teilmenge}
\begin{align}
N \subset M \Leftrightarrow M \subset N
\end{align}
\subsection{Potzenmenge}
Sei \(M\) eine Menge.\\
\(P(M)\) (auch \(2^M\)):= Menge von allen Teilmengen von M.
Sei \(l\) die Anzahl der Elemente von \(M\), so ist die
Anzahl der Möglichkeiten ist \(2^l\)
\subsection{Schnittmenge}
\begin{align}
M \cap N := \{x : x \in M \land x \in N\}
\end{align}
Die Schnittmenge besteht also aus den gemeinsamen Elementen der beiden Mengen.
Falls \(M \cap N = \emptyset\) sind, sind M und N \emph{disjunkt}
\subsection{Vereinigung}
\begin{align}
M \cup N = \{x : x \in M \lor x \in N\}
\end{align}
\section{Vektorräume}\label{vektorraum}
\subsection{Vektorraum}\label{vektorraum:def}
Eine nichtleere Menge $V$ heißt Vektorraum über einem Körper $\K$, wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:\\
\emph{Addition}
\begin{alignat}{2}
(u + v) + w &= u + (v+w) \;&& \forall u,v,w \in V\\
u + v &= v + u \; && \forall u,v \in V\\
u + 0 &= u \; &&\forall u, v \in V \\
v + (-v) &= 0 \; && \forall v \in V
\end{alignat}
\emph{Skalarmultiplikation}:
\begin{alignat}{2}
(\alpha \cdot \beta) \cdot v &= \alpha \cdot (\beta \cdot v )\\
\alpha \cdot (u+v) &= \alpha \cdot u + \alpha \cdot v \\
(\alpha \cdot \beta) \cdot v & = \alpha \cdot(\beta \cdot v)\\
1 \cdot v &= v
\end{alignat}
\subsection{Untervektorraum}\label{vektorraum:unterraum}
Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $\K$.
Dann ist $U \subset V$ ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}
\item $U$ ist nicht leer, also muss mindestens $\colvec{0}{0} \in U$ gelten.
\item Die Addition muss abgeschlossen sein.
\item Die Skalarmultiplikation muss abgeschlossen sein.
\end{enumerate}
%\subsection{Kombinationen}\label{vektorraum:kombination}
%Voraussetzungen für die nächsten Definitionen:
%Es seien $v_1, \dots, v_m$ Elemente eines Vektorraums $V$ über einem Skalarenkörper $\K$,
%und es sei $\alpha := (\alpha_1, \dots, \alpha_m)$ ein m-Tupel aus $\K^m$ für ein $m\in \N \backslash \{0\}$.
%\subsubsection{Linearkombination}
\vspace{\fill}
\doclicenseThis{}
\end{document}

22
env/commands.tex

@ -0,0 +1,22 @@
% custom commands go here %
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Rq}{\R^2}
\newcommand{\Qq}{\Q^2}
\newcommand{\lrarr}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\linf}{\lim\limits_{n \rightarrow{} \infty}}
%running fraction with slash - requires math mode.
\newcommand*\rfrac[2]{{}^{#1}\!/_{#2}}
% Vector
\newcommand*\colvec[3][]{
\begin{pmatrix}\ifx\relax#1\relax\else#1\\\fi#2\\#3\end{pmatrix}
}
\newcommand{\xyvec}{\colvec{x}{y}}

9
env/meta.tex

@ -0,0 +1,9 @@
%opening
\author{Marcel Schneider \\ \href{mailto:matheschneider@webschneider.org}{matheschneider@webschneider.org}}
% License
\usepackage[
type={CC},
modifier={by-nc-sa},
version={3.0},
]{doclicense}

9
env/packages.tex

@ -0,0 +1,9 @@
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[margin=1in]{geometry}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{enumerate}
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