Mastertheorem

DiMa/dima.tex

@@ -147,6 +147,30 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
     Also ist $f(n) = \Theta$, wenn $\exists c_1, c_2$, so dass
     $c_1 \cdot |g(n)| \le |f(n)| \le |c_2 \cdot g(n)|$.
 
+    \subsection{Master-Theorem}
+    Das \idx{Master-Theorem} lässt sich auf Rekursionen der folgenden Struktur
+    anwenden:
+    \begin{alignat*}{2}
+        T(n) &= a \cdot T\left(\ceil{\rfrac{n}{b}}\right) + c(n) \; &&, n > n_0\\
+        T(n) &= \Theta(1) &&, n \le n_0
+    \end{alignat*}
+    $c$ muss dabei monoton wachsend sein. Nun gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item Ist $c(n) = \O\left(n^{\log_b a - \epsilon}\right)$ für ein
+            $\epsilon $ mit $ 0 < \epsilon < \log_b a$, so ist
+            \[T(n) = \O\left(n^{\log_b a}\right)\]
+        \item Ist $c(n) = \Theta(n^{\log_b a})$, so ist
+            \[T(n) = \Theta\left(n^{\log_b a} \cdot \log_b n\right)\]
+        \item Erfüllt $c$ die Bedingung $\exists \gamma \in (0, 1)$, so dass
+            $ac(\ceil{\frac{a}{b}}) \le \gamma c(n)$ für ein hinreichend großes
+            $n$ und ist $c(n) = \Omega\left(n^{\log_b a + \epsilon}\right)$, so
+            ist
+            \[T(n) = \Theta\left(c\left(n\right)\right)\]
+    \end{enumerate}
+    Zahlreiche Übungen lassen sich im Internet
+    finden\footnote{\url{http://www.csd.uwo.ca/~moreno/CS433-CS9624/Resources/master.pdf}}.
+
+
 \section{Graphentheorie}
     \subsection{Ungerichtete Graphen}
         \subsubsection{Kreis}\label{graph:kreis}

env/commands.tex

@@ -6,6 +6,8 @@
 \newcommand{\K}{\mathbb{K}}
 \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
 \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
+\renewcommand*{\O}{\mathcal{O}}
+\renewcommand*{\epsilon}{\varepsilon}
 
 \newcommand{\Rq}{\R^2}
 \newcommand{\Qq}{\Q^2}