Rekursion

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@@ -93,6 +93,36 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
             \textbf{Reihenfolge egal, mit Zurücklegen} & \nameref{kombi:mitWiederholung}\\
         \end{tabular}
 
+\section{Rekursion}
+    \subsection{Lineare Rekursion}
+    Angenommen $T : \N_0 \rightarrow \R $ erfüllt die \idx{lineare Rekursion}
+    \begin{align*}
+        T(n) &= r \cdot T(n-1) + a, \; a,r \in \R, n \in \N\\
+        T(1) &= b.
+    \end{align*}
+    Dann ist die Lösung:
+    \begin{align*}
+        T(n) &= r^n T(0) + a \sum_{i=0}^{a-1} r^2, \; n \in \N_0, r = 1 \\
+        T(n) &= r^a T(0) + a \frac{1-r^n}{1-r}, \text{\ für } r \ne 1
+    \end{align*}
+
+    \subsection{Wachstum von Funktionen}
+    Seien $f,g : \N_0 \rightarrow \R$.\\
+    \idx{Abschätzung nach oben}\\
+    Eine Funktion kann nach oben asymptotisch abgeschätzt werden, wenn
+    $\exists c > 0$, s.d. $|f(n)| \le c \cdot |g(n)|, \text{\ für } n \ge n_0$.
+    Man schreibt dann $f(n) = O(g(n))$, $O(g(n))$ enthält also alle Funktionen,
+    durch die $f(n)$ nach oben asymptotisch abgeschätzt wird.
+
+    \idx{Abschätzung nach unten}\\
+    Wenn $\exists c > 0$, so dass $|f(n)| \ge c \cdot |g(n)|$, schreibt man
+    $f(n) = \Omega(g(n))$. So wächst $f(n)$ also schneller als $g(n)$.
+
+    \idx{Abschätzung nach oben und unten}
+    Die Kombination von $O$ und $\Omega$ heißt $\Theta$.
+    Also ist $f(n) = \Theta$, wenn $\exists c_1, c_2$, so dass
+    $c_1 \cdot |g(n)| \le |f(n)| \le |c_2 \cdot g(n)|$.
+
 \section{Graphentheorie}
     \subsection{Kreis}\label{graph:kreis}
     Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken $e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet.