diff --git a/DiMa/dima.pdf b/DiMa/dima.pdf index c693127..0d017e6 100644 Binary files a/DiMa/dima.pdf and b/DiMa/dima.pdf differ diff --git a/DiMa/dima.tex b/DiMa/dima.tex index 1307f31..c01cf40 100644 --- a/DiMa/dima.tex +++ b/DiMa/dima.tex @@ -93,6 +93,36 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen! \textbf{Reihenfolge egal, mit Zurücklegen} & \nameref{kombi:mitWiederholung}\\ \end{tabular} +\section{Rekursion} + \subsection{Lineare Rekursion} + Angenommen $T : \N_0 \rightarrow \R $ erfüllt die \idx{lineare Rekursion} + \begin{align*} + T(n) &= r \cdot T(n-1) + a, \; a,r \in \R, n \in \N\\ + T(1) &= b. + \end{align*} + Dann ist die Lösung: + \begin{align*} + T(n) &= r^n T(0) + a \sum_{i=0}^{a-1} r^2, \; n \in \N_0, r = 1 \\ + T(n) &= r^a T(0) + a \frac{1-r^n}{1-r}, \text{\ für } r \ne 1 + \end{align*} + + \subsection{Wachstum von Funktionen} + Seien $f,g : \N_0 \rightarrow \R$.\\ + \idx{Abschätzung nach oben}\\ + Eine Funktion kann nach oben asymptotisch abgeschätzt werden, wenn + $\exists c > 0$, s.d. $|f(n)| \le c \cdot |g(n)|, \text{\ für } n \ge n_0$. + Man schreibt dann $f(n) = O(g(n))$, $O(g(n))$ enthält also alle Funktionen, + durch die $f(n)$ nach oben asymptotisch abgeschätzt wird. + + \idx{Abschätzung nach unten}\\ + Wenn $\exists c > 0$, so dass $|f(n)| \ge c \cdot |g(n)|$, schreibt man + $f(n) = \Omega(g(n))$. So wächst $f(n)$ also schneller als $g(n)$. + + \idx{Abschätzung nach oben und unten} + Die Kombination von $O$ und $\Omega$ heißt $\Theta$. + Also ist $f(n) = \Theta$, wenn $\exists c_1, c_2$, so dass + $c_1 \cdot |g(n)| \le |f(n)| \le |c_2 \cdot g(n)|$. + \section{Graphentheorie} \subsection{Kreis}\label{graph:kreis} Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken $e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet.