mafia update regarding chapter #2

MafIA1/mafia.tex

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 \section*{Vorwort}
 Dieses Dokument dient zur kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Sätze und Definitionen.
-Ich füge hier nur nach Lust und Laune Dinge ein, so dass dies in keinster Weise als vollständig oder stets korrekt angesehen werden darf.
+Ich füge hier nur nach Lust und Laune Dinge ein, so dass dies in keinster Weise als vollständig oder stets korrekt angesehen werden darf. Sollten Fehler gefunden werden, bitte per Mail darüber informieren, dann können diese hier berichtigt werden. Auch Issues im Git sind gerne gesehen.
 Die Quelldateien sind öffentlich unter \url{https://git.webschneider.org/uni/sammlung} einsehbar.
 Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
 
@@ -177,7 +177,8 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
             Da $f$ surjektiv und injektiv ist, folgt auch die \emph{Surjektivität}
             für $f$.
             
-        \subsubsection{Satz: Regeln für Abbildungen}
+        \subsubsection{Regeln für Abbildungen}
+        	\ther
        		\begin{enumerate}[a.)]
        			\item Sind $ f $ und $ g $ injektiv, so ist $ f \circ g $ injektiv
        			\item Sind $ f $ und $ g $ surjektiv, so ist $ f \circ g $ surjektiv
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         	\[ R := \{x \in \Omega | x \not \in \{x\}\} \subset \Omega \]
         	\[ R \in R \Lrarr R \not \in \{R\}\]
 
+\section{Sprache und Logik}
+	\subsection{Grundlagen}
+		\subsubsection{Zeichen, Alphabete, Worte, Sprachen}
+			\cdef
+			\begin{enumerate}
+				\item Ein Zeichen ist ein Symbol (\ex $ x $ oder $\in$)
+				\item Eine Zeichenkette ist eine Aneinanderreihung von Zeichen (\ex $ x \in M $ oder ''diesisteineZeichenkette'')
+				\item Ein Alphabet ist eine endliche Menge von Zeichen
+				\item Ein Wort oder Satz das Länge $ n $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Verkettung von $ n $ Zeichen aus $ A $. Das leere Word wird mit $ \epsilon $ bezeichnet.\\
+				$ A^n $ ist die Menge aller Wörter der Länge $ n $\footnote{nicht zu verwechseln mit einem Produktraum von Alphabeten ($ A \times A \times A \times \dots$)}
+				\item Die freie Sprache $ S $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Teilmenge von $ A* $
+			\end{enumerate}
+		\subsubsection{Wahrheitswerte}
+			\cdef Die Menge $ B $ der Wahrheitstabelle ist wie folgt definitiert:
+			\begin{align}
+				B := \{\text{wahr, falsch}\} = \{\text{true, false}\} = \{W, F\} = \{1,0\}
+			\end{align}
+			\cdef Sei $ S $ eine Sprache über einem Alphabet $ A $. Sei $ T $ eine Teilmenge von $ S $ und es gebe eine Abbildung $ I: T \rarr B $. Dann heißen die Elemente von $ T $ logische \idx{Aussagen} und die die Abbildung $ I $ heißt \idx{Interpretation}\footnote{Anschaulicher: Aussagen sind Sprachsätze, die unter einer gegeben Interpretation einen Wahrheitswert haben}\\
+			\ex $ 2 $ ist kleiner als $ 7 $\\
+			\cdef Ein $n$-stelliges Prädikat auf $ M $ ist eine Abbildung von $ M^n \rarr B $. \\
+			\[ \Rarr \text{Relation } r: M^n \rarr B , r (x) := \begin{cases} & \text{wahr, wenn } x\in R\\ & \text{falsch, wenn } x \not \in R \end{cases} \]
+		
+		\subsubsection{Grundoperationen der Aussagenlogik}
+			\begin{enumerate}
+				\item Negation $ \lnot A $ : es ist nicht wahr, dass $ A $ wahr ist
+				\item Konjunktion $ A \land B: A $ und $ B $ 
+				\item Disjunktion $ A \lor B: A $ oder $ B $ 
+				\item Implikation $ A \Rarr B $ : Aus $ A $ folgt $ B $
+				\item Äquivalenz $ A \Lrarr B $: $ A $ genau dann wenn $ B $
+			\end{enumerate}	
+			\anm Etwas übersichtlicher sind die Operationen in Tabellenform:
+			
+			\begin{figure}[tbh]
+				\centering
+				\includegraphics[width=0.7\linewidth]{ressources/GrundoperationenAussagenlogik}
+				\caption{Grundoperationen der Aussagenlogik}
+				\label{fig:GrundoperationenAussagenlogik}
+			\end{figure}
+		
+			\ther 
+			\begin{enumerate}
+				\item $p \land q = q \land p$ (Kommutativität)
+				\item $p \lor q = q \lor p$  (Kommutativität)
+				\item $(p \land q) \land r = p \land (q \land r)$ (Assoziativität)
+				\item $(p \lor q) \lor r = p \lor (q \lor r)$ (Assoziativität)
+				\item $(p \land q) \lor r = (p \lor r) \land (q \lor r)$ (Distributitivät von $\land$ und $\lor$)
+				\item $(p \lor q) \land r = (p \land r) \lor (p \land r)$  (Distributitivät von $\lor$ und $\land$)
+				\item $p \land p = p$ (Idempotenz)
+				\item $p \lor p = p $ (Idempotenz)
+				\item $\neg (p \land q) = (\neg p) \lor (\neg q)$ (Morgensche Regel)
+				\item $\neg (p \lor q) = (\neg p) \land (\neg q)$ (Morgensche Regel)
+				\item $\neg (\neg(q)) = q$
+			\end{enumerate}
+		
+		\subsubsection{Beweistechnik}
+			Es gibt verschiedene Wege eine Behauptung zu beweisen. Drei wurden in der Vorlesung behandelt:
+			\begin{enumerate}
+				\item Direkter Beweis $p \rightarrow q$: Sei $p$, dann zeigen wir, dass q wahr ist
+				\item indirekter oder Widerspruchsbeweis (Kontrapositiv)
+				\item Beweis durch vollstaendige Induktion
+			\end{enumerate}
+		
+
+
 \section{Zahlen}\label{zahlen}
     \subsection{Natürliche Zahlen}
         \subsubsection{Peano-Axiome}

env/commands.tex

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 \newcommand{\anm}{\emph{Anmerkung: }}
 \newcommand{\prac}{\textbf{\textcolor{red}{Übung }}}
 
+% TODO: improve usage of \def and \ther
+\newcommand{\cdef}{\textbf{Definition: }}
+\newcommand{\ther}{\textbf{Satz: }}
+	
+	
 \newcommand{\linf}{\lim\limits_{n \rightarrow{} \infty}}
 
 %running fraction with slash - requires math mode.