Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} (reflexiv, symmetrisch, transitiv)
zutreffen.
Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} (reflexiv, symmetrisch, transitiv) zutreffen.
Eine Relation heißt Ordnungsrelation, wenn sie total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.\\
% TODO: halbe Ordnung/ganze Ordnung
Eine Relation heißt Ordnungsrelation ($\prec$), wenn sie total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.\\
\ex Sei $ M =\R, \prec\rarr\le: x \le y $
\subsubsection{Halbe Ordnung}
$\prec$ heißt eine Halbordnung auf $ M $, wenn Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie gegeben sind für $ x \prec y $ für $ x,y \in M $
\subsubsection{Ganze Ordnung}
$\prec$ heißt eine ganze Ordnung, wenn alle $ x,y \in M $ entweder $ x \prec y $ oder $ y \prec x $ erfüllen.
\section{Abbildungen}
\subsection{Definition}
Eine Abbildung $ f $ einer Menge $ U \subset M $ auf eine Menge $ N $ ist eine Vorschrift, die jedem $ x \in M $ (Urbild) genau ein Element $ y \in N $ (Bild von $x$) zuordnet.
Dabei ist $ U $ die \idx{Urbildmenge} und $ N $ die \idx{Bildmenge}. Weiter ist $ U $ die Domain(\idx{Definitionsbereich}) von $ f $ in $ M $ ($ U = dom(f)$)\\\\
Eine Abbildung $ f $ von einer Menge $ M $ in eine Menge $ Y \subset N $ ist gegeben durch eine Relation:\\
$ R_f $ zwischen $ M $ und $ N $, bei der jedes $ x \in M $ mit genau einem $ y \in N $ in Relation steht:\\
$(x,y)\in R_f $ und $(x,\tilde{y})\in R_f \Rarr y =\tilde{y}$. Wir schreiben in diesem Fall $ f(x)= y $
\subsubsection{Verknüpfte Abbildungen}
\begin{align}
(f \circ g)(x) = f(g(x)) \text{ wobei }
g: M \rarr N \text{ und } f: N \rarr P \Rarr f \circ g: M \rarr P
Wir betrachten eine Abbildung $f: M \rightarrow N$.
@ -162,6 +177,20 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
Da $f$ surjektiv und injektiv ist, folgt auch die \emph{Surjektivität}
für $f$.
\subsubsection{Satz: Regeln für Abbildungen}
\begin{enumerate}[a.)]
\item Sind $ f $ und $ g $ injektiv, so ist $ f \circ g $ injektiv
\item Sind $ f $ und $ g $ surjektiv, so ist $ f \circ g $ surjektiv
\item Sind $ f $ und $ g $ bijektiv, so ist $ f \circ g $ bijektiv
\item Ist $ f \circ g $ injektiv, so ist auch $ g $ injektiv
\item Ist $ f \circ g $ surjektiv, so ist auch $ f $ surjektiv
\item Ist $ f \circ g $ bijektiv, so ist $ f $ injektiv und $ g $ surjektiv
\end{enumerate}
Die Beweise zu a.) - f.) werden zur \prac gelassen. Teilweise wurden sie schon in der Vorlesung gezeigt.\\
\anm: In der Vorlesung wurde noch kurz Russels Paradoxon\footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Barbier-Paradoxon} bzw. \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie}} angesprochen:\\
\[ R :=\{x \in\Omega | x \not\in\{x\}\}\subset\Omega\]
angerstoner
7 years ago