mafia chapter 1 finished #1

MafIA1/mafia.idx

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MafIA1/mafia.tex

@@ -84,7 +84,7 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
     Eine Relation ist zunächst eine Teilmenge beliebiger Mengen $M, N$.
     Man schreibt für ein beliebiges Paar aus $(x,y) \in M \times N$ entweder
     $xRy$ oder seltener $(x,y) \in R$.
-
+    
     \subsection{Eigenschaften}\label{relation:eigenschaften}
     Zur Beschreibung einer Relation gibt es folgende Eigenschaften, dazu
     betrachten wir eine zweistellige Relation $R$ auf $M$:
@@ -100,15 +100,30 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
     \ex antisymmetrisch: $ 3 \le 3 \land 3 \ge 3 \Rightarrow 3 = 3$\\
 
     \subsection{Äquivalenzrelation}\label{relationen:aequivalenz}
-    Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} (reflexiv, symmetrisch, transitiv)
-    zutreffen.
+    	Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} (reflexiv, symmetrisch, transitiv) zutreffen.
 
     \subsection{Ordnungsrelation}\label{relationen:ordnung}
-    Eine Relation heißt Ordnungsrelation, wenn sie total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.\\
-    % TODO: halbe Ordnung/ganze Ordnung
+	    Eine Relation heißt Ordnungsrelation ($ \prec $), wenn sie total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.\\
+	    \ex Sei $ M = \R, \prec \rarr \le: x \le y $
+	    \subsubsection{Halbe Ordnung}
+	    	$ \prec $ heißt eine Halbordnung auf $ M $, wenn Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie gegeben sind für $ x \prec y $ für $ x,y \in M $
+	    \subsubsection{Ganze Ordnung}
+	    	$ \prec $ heißt eine ganze Ordnung, wenn alle $ x,y \in M $ entweder $ x \prec y $ oder $ y \prec x $ erfüllen.
 
 \section{Abbildungen}
-    \subsection{Eigenschaften}\label{abb:eigenschaften}
+	\subsection{Definition}
+		Eine Abbildung $ f $ einer Menge $ U \subset M $ auf eine Menge $ N $ ist eine Vorschrift, die jedem $ x \in M $ (Urbild) genau ein Element $ y \in N $ (Bild von $x$) zuordnet.
+		Dabei ist $ U $ die \idx{Urbildmenge} und $ N $ die \idx{Bildmenge}. Weiter ist $ U $ die Domain(\idx{Definitionsbereich}) von $ f $ in $ M $ ($ U = dom(f) $)\\\\
+		Eine Abbildung $ f $ von einer Menge $ M $ in eine Menge $ Y \subset N $ ist gegeben durch eine Relation:\\
+		$ R_f $ zwischen $ M $ und $ N $, bei der jedes $ x \in M $ mit genau einem $ y \in N $ in Relation steht:\\
+		$ (x,y) \in R_f $ und $ (x,\tilde{y}) \in R_f \Rarr y = \tilde{y} $. Wir schreiben in diesem Fall $ f(x) = y $
+		\subsubsection{Verknüpfte Abbildungen}
+		\begin{align}
+			(f \circ g)(x) = f(g(x)) \text{ wobei }
+			g: M \rarr N \text{ und } f: N \rarr P \Rarr f \circ g: M \rarr P
+		\end{align}
+		
+	\subsection{Eigenschaften}\label{abb:eigenschaften}
         Wir betrachten eine Abbildung $f: M \rightarrow N$.
 
         \begin{tabu}{rl}
@@ -161,6 +176,20 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
             \end{proof}
             Da $f$ surjektiv und injektiv ist, folgt auch die \emph{Surjektivität}
             für $f$.
+            
+        \subsubsection{Satz: Regeln für Abbildungen}
+       		\begin{enumerate}[a.)]
+       			\item Sind $ f $ und $ g $ injektiv, so ist $ f \circ g $ injektiv
+       			\item Sind $ f $ und $ g $ surjektiv, so ist $ f \circ g $ surjektiv
+       			\item Sind $ f $ und $ g $ bijektiv, so ist $ f \circ g $ bijektiv
+       			\item Ist $ f \circ g $ injektiv, so ist auch $ g $ injektiv
+       			\item Ist $ f \circ g $ surjektiv, so ist auch $ f $ surjektiv
+       			\item Ist $ f \circ g $ bijektiv, so ist $ f $ injektiv und $ g $ surjektiv
+        	\end{enumerate}
+        	Die Beweise zu a.) - f.) werden zur \prac gelassen. Teilweise wurden sie schon in der Vorlesung gezeigt.\\
+        	\anm: In der Vorlesung wurde noch kurz Russels Paradoxon\footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Barbier-Paradoxon} bzw. \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie}} angesprochen:\\
+        	\[ R := \{x \in \Omega | x \not \in \{x\}\} \subset \Omega \]
+        	\[ R \in R \Lrarr R \not \in \{R\}\]
 
 \section{Zahlen}\label{zahlen}
     \subsection{Natürliche Zahlen}

env/commands.tex

@@ -18,6 +18,7 @@
 
 \newcommand{\ex}{\emph{Beispiel: }}
 \newcommand{\anm}{\emph{Anmerkung: }}
+\newcommand{\prac}{\textbf{\textcolor{red}{Übung}}}
 
 \newcommand{\linf}{\lim\limits_{n \rightarrow{} \infty}}