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\documentclass[a4paper,11pt]{scrartcl}
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\input{../env/packages}
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\input{../env/commands}
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\input{../env/meta}
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\begin{document}
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\title{Zusammenfassung MafIA 1}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\bigskip
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\section{Mengenlehre}
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\subsection{Menge}
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Eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen zu einem Ganzen
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\subsection{Teilmenge}
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\begin{align}
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N \subset M \Leftrightarrow M \subset N
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\end{align}
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\subsection{Potzenmenge}
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Sei \(M\) eine Menge.\\
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\(P(M)\) (auch \(2^M\)):= Menge von allen Teilmengen von M.
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Sei \(l\) die Anzahl der Elemente von \(M\), so ist die
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Anzahl der Möglichkeiten ist \(2^l\)
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\subsection{Schnittmenge}
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\begin{align}
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M \cap N := \{x : x \in M \land x \in N\}
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\end{align}
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Die Schnittmenge besteht also aus den gemeinsamen Elementen der beiden Mengen.
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Falls \(M \cap N = \emptyset\) sind, sind M und N \emph{disjunkt}
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\subsection{Vereinigung}
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\begin{align}
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M \cup N = \{x : x \in M \lor x \in N\}
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\end{align}
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\section{Vektorräume}\label{vektorraum}
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\subsection{Vektorraum}\label{vektorraum:def}
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Eine nichtleere Menge $V$ heißt Vektorraum über einem Körper $\K$, wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:\\
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\emph{Addition}
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\begin{alignat}{2}
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(u + v) + w &= u + (v+w) \;&& \forall u,v,w \in V\\
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u + v &= v + u \; && \forall u,v \in V\\
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u + 0 &= u \; &&\forall u, v \in V \\
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v + (-v) &= 0 \; && \forall v \in V
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\end{alignat}
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\emph{Skalarmultiplikation}:
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\begin{alignat}{2}
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(\alpha \cdot \beta) \cdot v &= \alpha \cdot (\beta \cdot v )\\
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\alpha \cdot (u+v) &= \alpha \cdot u + \alpha \cdot v \\
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(\alpha \cdot \beta) \cdot v & = \alpha \cdot(\beta \cdot v)\\
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1 \cdot v &= v
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\end{alignat}
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\subsection{Untervektorraum}\label{vektorraum:unterraum}
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Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $\K$.
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Dann ist $U \subset V$ ein Untervektorraum, wenn gilt:
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\begin{enumerate}
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\item $U$ ist nicht leer, also muss mindestens $\colvec{0}{0} \in U$ gelten.
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\item Die Addition muss abgeschlossen sein.
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\item Die Skalarmultiplikation muss abgeschlossen sein.
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\end{enumerate}
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\subsection{Kombinationen}\label{vektorraum:kombination}
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Voraussetzungen für die nächsten Definitionen:
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Seien $v_1, \dots, v_m$ Elemente eines Vektorraums $V$ über einem Skalarenkörper $\K$,
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und es sei $\alpha := (\alpha_1, \dots, \alpha_m)$ ein m-Tupel aus $\K^m$ für ein $m\in \N \backslash \{0\}$.
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\subsubsection{Linearkombination}
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Eine Linearkombination ist eine Vektroaddition, bei der jeder Vektor einer Menge $V$ zunächst mit einem Skalar $\alpha$ multipliziert wird.
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\[\sum_{j=1}^{m} \alpha_j \cdot v_j \]
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\subsubsection{Affinkombination}
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Wenn außerdem gilt, dass die Summe aller Koeffizienten 1 ergibt, also
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\[\sum_{j=1}^{m} \alpha_j = 1\]
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dann spricht man von einer \emph{Affinkombination}.
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\subsubsection{Konvexkombination}
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Wenn darüber hinaus $\K = \R$ ist und
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\[\alpha_j \in [0,1] \; \forall j, 1\le j \le m \]
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gilt, spricht man von einer \emph{Konvexkombination}.
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Vergleiche zum Verständnis für Konvex die Definition auf Wikipedia\footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_Menge}}
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\vspace{\fill}
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\doclicenseThis{}
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\end{document}
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