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\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\input{../env/packages}
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\input{../env/commands}
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\input{../env/meta}
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\begin{document}
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\title{Zusammenfassung Diskrete Mathematik}
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\maketitle
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\section*{Vorwort}
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Dieses Dokument dient zur kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Sätze und Definitionen.
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Ich füge hier nur nach Lust und Laune Dinge ein, so dass dies in keinster Weise als vollständig oder stets korrekt angesehen werden darf.
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Die Quelldateien sind öffentlich unter \url{https://git.webschneider.org/uni/sammlung} einsehbar.
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Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
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\tableofcontents
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\bigskip
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\section{Abbildungen}
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Man beachte auch das \href{https://git.webschneider.org/uni/sammlung/src/master/MafIA1/mafia.pdf}{Mafia-Skript}.
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\subsection{Kompositionen}
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Kompositionen von Funktionen sind \emph{assoziativ}.
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Sei $f: X \rightarrow Y$ eine Funktion:
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\begin{enumerate}[i.]
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\item $f $ ist injektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $g \circ f = id_x$
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\item $f$ ist surjektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $f \circ g = id_y$
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\item $f$ ist bijektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $g \circ f = id_x, f \circ g = id_y$
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\end{enumerate}
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\subsection{Umkehrfunktion}\label{abb:umkehr}
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Seien $X,Y$ Mengen und die Abbildungen $f: X \rightarrow Y$ eine Bijektion.
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Dann gibt es eine eindeutige Funktion $g:Y \rightarrow X$ mit $g(y)=x$, wobei
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$f^{-1}(y) = \{x\}$.
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Diese wird \idx{Umkehrfunktion} oder \idx{Inverse} von $f$ bezeichnet.
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\section{Zählen und Kombinatorik}
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\subsection{Schubfachprinzip}\label{kombi:schubfach}
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Das Schubfachprinzip besagt, wenn $m$ Objekte in $n$ Kategorien (\emph{Schubfächer}\index{Schubfach})
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eingeteilt werden, gibt es mindestens eine Kategorie, in der mindestens
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zwei Objekte eingeteilt sind.
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\subsection{Zählformen}\label{kombi:counting}
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Bei endlichen Mengen gibt $|A|$ die Anzahl der Elemente (\idx{Kardinalität}) an.
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\subsubsection{Summenformel}\label{kombi:summenformel}
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Bei endlichen Mengen $A,B$ gilt die \emph{Summenformel}:
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\[|A\cup B| = |A|+|B| - |A \cap B| \]
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\subsubsection{Binomialkoeffizient}\label{kombi:binomial}
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Der \idx{Binomialkoeffizient}
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dient dazu, die möglichen Kombinationen von $k$ Objekten aus insgesamt
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$n$ verschiedenen Elementen zu ermitteln.
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Dabei ist die Reihenfolge unerheblich und es wird nicht zurückgelegt.
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Die Definition ist wie folgt:
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\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
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\subsubsection{Kombination mit Wiederholung}\label{kombi:mitWiederholung}
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Wenn die Reihenfolge egal ist und Wiederholungen erlaubt sind, wird
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eine angepasste Version des Binomialkoeffizienten genutzt:
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\[ \binom{n+k-1}{k} \]
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\subsubsection{Wann nehme ich was?}\label{kombi:wannwas}
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\begin{tabular}{ll}
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\textbf{Reihenfolge egal, ohne Zurücklegen} & \nameref{kombi:binomial}\\
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\textbf{Reihenfolge egal, mit Zurücklegen} & \nameref{kombi:mitWiederholung}\\
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\end{tabular}
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\section{Graphentheorie}
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\subsection{Kreis}\label{graph:kreis}
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Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken $e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet.
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Alle Kanten müssen dabei unterschiedlich sein.
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Die Länge des Kreises beschreibt die Anzahl der Kanten oder Ecken.
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\subsection{Eulerscher Kreis}\label{graph:eulerschKreis}
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Ein \nameref{graph:kreis} $C$ in einem Graph $G$ heißt eulersch, wenn jede Kante aus G in ihm genau einmal vorkommt.
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\subsection{Eulerscher Graph}\label{graph:eulersch}
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Ein Graph heißt eulersch, wenn er einen \hyperref[subsec:eulerschKreis]{eulerschen Kreis} besitzt.
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Jede Ecke eines eulerschen Graphen hat geraden Grad.
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Besitzt also eine Ecke des Graphen ungeraden Grad, so ist es kein eulerscher Graph.
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\subsection{Zusammenhangskomponente}\label{graph:komponente}
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Ein maximaler, zusammenhängender Teilgraph $G^*$ eines Graphen $G$.
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\printindex
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\vspace*{\fill} % show license on bottom of page
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\doclicenseThis{}
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\end{document}
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