sammlung/MafIA1/mafia.tex

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\begin{document}

\title{Zusammenfassung MafIA 1}
\author{Marcel Schneider \hspace{2cm} Maik Wegener\\ \href{mailto:matheschneider@webschneider.org}{matheschneider@webschneider.org}}
\maketitle

\section*{Vorwort}
Dieses Dokument dient zur kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Sätze und Definitionen.
Ich füge hier nur nach Lust und Laune Dinge ein, so dass dies in keinster Weise als vollständig oder stets korrekt angesehen werden darf. Sollten Fehler gefunden werden, bitte per Mail darüber informieren, dann können diese hier berichtigt werden. Auch Issues im Git sind gerne gesehen.
Die Quelldateien sind öffentlich unter \url{https://git.webschneider.org/uni/sammlung} einsehbar.
Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!

\tableofcontents
\newpage

\section{Mengenlehre}
    \subsection{Menge}
        Eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen zu einem Ganzen\\
        \ex \(M := \{\text{the, die, der, das}\}\) oder \\
        \(M := \{x | x \text{ ein bestimmter Artikel aus Englisch oder Deutsch}\}\)

    \subsection{Teilmenge}
        \begin{align}
            N \subset M \Lrarr M \supset N
        \end{align}
        \ex $ N := \{\text{the}\}$ ist eine Teilmenge von $ M $, jedoch ist $ M $ keine Teilmenge von $ N $, da nicht alle Elemente aus $ M $ in $ N $ sind.
        
    \subsection{Leere Menge}
        \begin{align}
            O := \{\} = \emptyset
        \end{align}
        \ex $ O := \{x | x \text{ ein Artikel aus dem chinesischen}\} = \emptyset $\\
        \anm In der chinesischen Sprache gibt es keine Artikel

    \subsection{Potzenmenge}
        Sei \(M\) eine Menge.\\
        \(P(M)\) (auch \(2^M\)):= Menge von allen Teilmengen von M.
        Sei \(l\) die Anzahl der Elemente von \(M\), so ist die Anzahl der Möglichkeiten ist \(2^l\)\\
        \ex $ Q := \{1,2,3\} \Rarr P(Q) := \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\} $

    \subsection{Schnittmenge}
        \begin{align}
            M \cap N := \{x : x \in M \land x \in N\}
        \end{align}
        Die Schnittmenge besteht also aus den gemeinsamen Elementen der beiden Mengen.
        Falls \(M \cap N = \emptyset\) sind, sind M und N \emph{disjunkt}\\
        \ex $ M := \{\text{the, die, der, das}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \cap N := \{\text{der, die}\}$

    \subsection{Vereinigung}
        \begin{align}
            M \cup N = \{x : x \in M \lor x \in N\}
        \end{align}
        Die Vereinigung besteht als allen Elementen, die in $ M $ oder in $ N $ sind.\\6
        \ex $ M := \{\text{the}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \cup N := \{\text{the, der, die}\}$
        
    \subsection{Differenzmenge}
        \begin{align}
            M \backslash N = \{x : x \in M \land x \not\in N\}
        \end{align}
        Die Differenzmenge besteht aus den Elementen aus $ M $, die \textbf{nicht} in $ N $ sind.\\
        \ex $ M := \{\text{the, die, der, das}\} $ und $ N := \{\text{der, die}\} \Rarr M \backslash N := \{\text{the, das}\}$
    
    \subsection{Satz: Regeln für Mengen}
        Seien $ M, N \text{ und } Q $ Mengen, dann gelten folgende Regeln:
        \begin{enumerate}
            \item $ M \cap N = N \cap M $ ($\cap$ ist kommutativ)
            \item $ M \cup N = N \cup M $ ($\cup$ ist kommutativ)
            \item $ (M \cap N) \cap Q = M \cap (N \cap Q) $ ($\cap$ ist assoziativ)
            \item $ (M \cup N) \cup Q = M \cup (N \cup Q) $ ($\cup$ ist assoziativ)
            \item $ (M \cap N) \cup Q = (M \cup Q) \cap (N \cup Q) $ (distributiv)
            \item $ (M \cup N) \cap Q = (M \cap Q) \cup (N \cap Q) $ (distributiv)
            \item $ M \cap M = M $ (Eine Menge ist geschnitten mit sich selbst wieder die Menge)
            \item $ M \cup M = M $ (Eine Menge ist vereinigt mit sich selbst wieder die Menge)
            \item $ M \cap \emptyset = \emptyset $  (Eine Menge, geschnitten mit der leeren Menge, ist die leere Menge)
            \item $ M \cup \emptyset = M $ (Eine Menge, vereinigt mit der leeren Menge, ist die Menge selbst)
        \end{enumerate}
        Zusammenfassend (1-6): Schnittmenge und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und distributiv

\section{Relationen}
    Eine Relation ist zunächst eine Teilmenge beliebiger Mengen $M, N$.
    Man schreibt für ein beliebiges Paar aus $(x,y) \in M \times N$ entweder
    $xRy$ oder seltener $(x,y) \in R$.
    
    \subsection{Eigenschaften}\label{relation:eigenschaften}
    Zur Beschreibung einer Relation gibt es folgende Eigenschaften, dazu
    betrachten wir eine zweistellige Relation $R$ auf $M$:

    \begin{tabu}{rX[l]}
        \textbf{reflexiv} & $\forall x\in M : xRx$, das Element steht also zu sich selbst in Relation.\\
        \textbf{symmetrisch} & $\forall x,y \in M$ aus $xRy$ auch $yRx$ folgt. Die Reihenfolge ist also egal.\\
        \textbf{transitiv} & $\forall x,y,z \in M$ und $xRy$ und $yRz$ folgt $xRz$.\\
        \textbf{antisymmetrisch} & $\forall x,y \in M: xRy \land yRx \Rightarrow x = y$\\
        \textbf{total} & $\forall x,y \in M: xRy \lor yRx$, also immer zwei Elemente in Relation stehen
    \end{tabu}

    \ex antisymmetrisch: $ 3 \le 3 \land 3 \ge 3 \Rightarrow 3 = 3$\\

    \subsection{Äquivalenzrelation}\label{relationen:aequivalenz}
        Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn die ersten drei Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften} (reflexiv, symmetrisch, transitiv) zutreffen.

    \subsection{Ordnungsrelation}\label{relationen:ordnung}
        Eine Relation heißt Ordnungsrelation ($ \prec $), wenn sie total, reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.\\
        \ex Sei $ M = \R, \prec \rarr \le: x \le y $
        \subsubsection{Halbe Ordnung}
            $ \prec $ heißt eine Halbordnung auf $ M $, wenn Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie gegeben sind für $ x \prec y $ für $ x,y \in M $
        \subsubsection{Ganze Ordnung}
            $ \prec $ heißt eine ganze Ordnung, wenn alle $ x,y \in M $ entweder $ x \prec y $ oder $ y \prec x $ erfüllen.

\section{Abbildungen}
    \subsection{Definition}
        Eine Abbildung $ f $ einer Menge $ U \subset M $ auf eine Menge $ N $ ist eine Vorschrift, die jedem $ x \in M $ (Urbild) genau ein Element $ y \in N $ (Bild von $x$) zuordnet.
        Dabei ist $ U $ die \idx{Urbildmenge} und $ N $ die \idx{Bildmenge}. Weiter ist $ U $ die Domain (\idx{Definitionsbereich}) von $ f $ in $ M $ ($ U = dom(f) $)\\\\
        Eine Abbildung $ f $ von einer Menge $ M $ in eine Menge $ Y \subset N $ ist gegeben durch eine Relation:\\
        $ R_f $ zwischen $ M $ und $ N $, bei der jedes $ x \in M $ mit genau einem $ y \in N $ in Relation steht:\\
        $ (x,y) \in R_f $ und $ (x,\tilde{y}) \in R_f \Rarr y = \tilde{y} $. Wir schreiben in diesem Fall $ f(x) = y $
        \subsubsection{Verknüpfte Abbildungen}
        \begin{align}
            (f \circ g)(x) = f(g(x)) \text{\ wobei }
            g: M \rarr N \text{\ und } f: N \rarr P \Rarr f \circ g: M \rarr P
        \end{align}
        
    \subsection{Eigenschaften}\label{abb:eigenschaften}
        Wir betrachten eine Abbildung $f: M \rightarrow N$.

        \begin{tabu}{rl}
            \textbf{injektiv} & $\forall x,y \in M, x \neq y : f(x) \neq f(y)$\\
            \textbf{surjektiv} & $\forall y \in N \exists x \in M : y = f(x)$\\
            \textbf{bijektiv} & wenn f injektiv und surjektiv ist
        \end{tabu}

        Dabei bedeutet \emph{injektiv}, dass unterschiedliche Eingaben unterschiedliche
        Ausgaben zur Folge haben, es wird also kein $y$-Wert zweimal getroffen.
        Das heißt auch, dass ein $y$-Wert nicht getroffen werden kann.\\
        \emph{Surjektiv} hingegen bedeutet, dass es zu jedem Bild ein mindestens Urbild gibt.
        Ein $y$ kann also durch mehrere $x$ getroffen werden, es gibt jedoch kein
        $y$, zu dem es keinen $x$-Wert gibt.

        \subsubsection{Beweise}
            Nachfolgend betrachten wir $f: \R \rightarrow \R, x \mapsto mx+b, m\ne 0$.\\
            Um die \emph{Injektivität} einer Funktion zu beweisen, nehmen wir
            die umgekehrte Definition, also $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$.
            \begin{proof}
                \emph{Zu zeigen:} $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$\\
                Sei $f(x) = f(y)$ mit $x,y \in \R$ beliebig.
                \begin{align*}
                    f(x) &= f(y)\\
                    mx+b &= my+b\\
                    mx &= my\\
                    x &= y
                \end{align*}
                Da $x=y$, ist $f$ injektiv.
            \end{proof}

            Um \emph{Surjektivität} zu zeigen, wird zunächst die Definition von
            $x$ ermittelt:
            \begin{align*}
                f(x) &= y \\
                mx+b &= y \\
                mx &= y - b \\
                x &= \frac{y-b}{m}
            \end{align*}
            Diese Definition macht man sich nun im Beweis zu nutze, um $f(x) = y$
            für beliebige $y$ zu zeigen:
            \begin{proof}
                Sei $y \in \R$ beliebig. Aus vorheriger Berechnung ist bekannt:
                $x = \frac{y-b}{m}$
                \begin{align*}
                    f(x) = f\left(\frac{y-b}{m}\right) = m\cdot \frac{y-b}{m} + b
                    = y - b + b = y
                \end{align*}
                Daraus resultiert, dass $f$ surjektiv ist.
            \end{proof}
            Da $f$ surjektiv und injektiv ist, folgt auch die \emph{Bijektivität}
            für $f$.
            
        \subsubsection{Regeln für Abbildungen}
            \ther
            \begin{enumerate}[a.]
                \item Sind $ f $ und $ g $ injektiv, so ist $ f \circ g $ injektiv
                \item Sind $ f $ und $ g $ surjektiv, so ist $ f \circ g $ surjektiv
                \item Sind $ f $ und $ g $ bijektiv, so ist $ f \circ g $ bijektiv
                \item Ist $ f \circ g $ injektiv, so ist auch $ g $ injektiv
                \item Ist $ f \circ g $ surjektiv, so ist auch $ f $ surjektiv
                \item Ist $ f \circ g $ bijektiv, so ist $ f $ injektiv und $ g $ surjektiv
            \end{enumerate}
            Die Beweise zu a. --- f.\ werden zur \prac{} gelassen. Teilweise wurden sie schon in der Vorlesung gezeigt.\\
            \anm: In der Vorlesung wurde noch kurz Russels Paradoxon\footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Barbier-Paradoxon} bzw. \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie}} angesprochen:\\
            \[ R := \{x \in \Omega | x \not \in \{x\}\} \subset \Omega \]
            \[ R \in R \Lrarr R \not \in \{R\}\]

\section{Sprache und Logik}
    \subsection{Grundlagen}
        \subsubsection{Zeichen, Alphabete, Worte, Sprachen}
            \cdef{}
            \begin{enumerate}
                \item Ein Zeichen ist ein Symbol (\ex{} $ x $ oder $\in$)
                \item Eine Zeichenkette ist eine Aneinanderreihung von Zeichen (\ex{} $ x \in M $ oder \verb|"diesisteineZeichenkette"|)
                \item Ein Alphabet ist eine endliche Menge von Zeichen
                \item Ein Wort oder Satz das Länge $ n $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Verkettung von $ n $ Zeichen aus $ A $. Das leere Word wird mit $ \epsilon $ bezeichnet.\\
                $ A^n $ ist die Menge aller Wörter der Länge $ n $\footnote{nicht zu verwechseln mit einem Produktraum von Alphabeten ($ A \times A \times A \times \dots$)}
                \item Die freie Sprache $ S $ über einem Alphabet $ A $ ist eine Teilmenge von $ A* $
            \end{enumerate}
        \subsubsection{Wahrheitswerte}
            \cdef Die Menge $ B $ der Wahrheitstabelle ist wie folgt definiert:
            \begin{align}
                B := \{\text{wahr, falsch}\} = \{\text{true, false}\} = \{W, F\} = \{1,0\}
            \end{align}
            \cdef Sei $ S $ eine Sprache über einem Alphabet $ A $. Sei $ T $ eine Teilmenge von $ S $ und es gebe eine Abbildung $ I: T \rarr B $. Dann heißen die Elemente von $ T $ logische \idx{Aussagen} und die die Abbildung $ I $ heißt \idx{Interpretation}\footnote{Anschaulicher: Aussagen sind Sprachsätze, die unter einer gegeben Interpretation einen Wahrheitswert haben}\\
            \ex $ 2 $ ist kleiner als $ 7 $\\
            \cdef Ein $n$-stelliges Prädikat auf $ M $ ist eine Abbildung von $ M^n \rarr B $. \\
            \[ \Rarr \text{Relation } r: M^n \rarr B , r (x) := \begin{cases} & \text{wahr, wenn } x\in R\\ & \text{falsch, wenn } x \not \in R \end{cases} \]

        \subsubsection{Grundoperationen der Aussagenlogik}
            \begin{enumerate}
                \item Negation $ \lnot A $ : es ist nicht wahr, dass $ A $ wahr ist
                \item Konjunktion $ A \land B: A $ und $ B $ 
                \item Disjunktion $ A \lor B: A $ oder $ B $ 
                \item Implikation $ A \Rarr B $ : Aus $ A $ folgt $ B $
                \item Äquivalenz $ A \Lrarr B $: $ A $ genau dann wenn $ B $
            \end{enumerate} 
            \anm Etwas übersichtlicher sind die Operationen in Tabellenform:

            \begin{figure}[tbh]
                \centering
                \includegraphics[width=0.7\linewidth]{ressources/41_Grundoperationen_Aussagenlogik}
                \caption{Grundoperationen der Aussagenlogik}
                \label{fig:GrundoperationenAussagenlogik}
            \end{figure}

            \ther 
            \begin{enumerate}
                \item $p \land q = q \land p$ (Kommutativität)
                \item $p \lor q = q \lor p$  (Kommutativität)
                \item $(p \land q) \land r = p \land (q \land r)$ (Assoziativität)
                \item $(p \lor q) \lor r = p \lor (q \lor r)$ (Assoziativität)
                \item $(p \land q) \lor r = (p \lor r) \land (q \lor r)$ (Distributitivät von $\land$ und $\lor$)
                \item $(p \lor q) \land r = (p \land r) \lor (p \land r)$  (Distributitivät von $\lor$ und $\land$)
                \item $p \land p = p$ (Idempotenz)
                \item $p \lor p = p $ (Idempotenz)
                \item $\neg (p \land q) = (\neg p) \lor (\neg q)$ (Morgensche Regel)
                \item $\neg (p \lor q) = (\neg p) \land (\neg q)$ (Morgensche Regel)
                \item $\neg (\neg(q)) = q$
            \end{enumerate}
        
        \subsubsection{Beweistechnik}
            Es gibt verschiedene Wege eine Behauptung zu beweisen. Drei wurden in der Vorlesung behandelt:
            \begin{enumerate}
                \item Direkter Beweis $p \rightarrow q$: Sei $p$, dann zeigen wir, dass q wahr ist
                \item indirekter oder Widerspruchsbeweis (Kontrapositiv)
                \item Beweis durch vollstaendige Induktion
            \end{enumerate}
        
            \paragraph{Induktionsbeweis:}
                $ $\\Grundsätzliches Schema:\\
                Sei $ P: \N \rarr B $ ein Prädikat auf $ \N $ ($P(n)$ ist wahr oder falsch $ \forall n \in \N $). Dann ist folgendes zu zeigen:
                \begin{enumerate}[1.]
                    \item Induktionsanfang: $ P(0) $ ist wahr
                    \item $ \forall n \in \N$ gilt: Aus $ P(n) $ ist wahr $ \rarr P(succ(n)) $ ist wahr.
                \end{enumerate}
                Dann folgt: $ P $ ist allgemeingültig über $ \N $, d.h. $ P(n) $ ist wahr $ \forall n\in \N $\footnote{Beispiele zur Induktion gibts auf den Übungsblättern oder im Skript}
        \subsection{Boolesche Funktionen}
            Sei $ B := \{0,1\} $. Dann existiert eine Abbildung $ f: B^n \rarr B $.\\
            \ex $ f(A) = \lnot(A) $ 
        
        \subsubsection{Prädikatenlogik} 
            Sei $ P $ ein Prädikat auf $ M $ 
            \begin{itemize}
                \item $ P $ ist erfüllbar, wenn $ P(x) $ wahr ist für mindestens ein $ x \in M $
                \subitem $ \exists x \in M $ sodass $ P(x) $ wahr ist
                \item $ P $ ist allgemeingültig, wenn $ P(x) $ wahr ist, wenn $ x \in M $
                \subitem $ (\forall x \in M) P(x) $ ist wahr
            \end{itemize}
        
        \subsection{Negation von Quantoren}
            \begin{itemize}
                \item $ \lnot (P(x) \forall x\in M) \Lrarr \exists x \in M $ sodass $ \lnot P(x) $
                \item $ \lnot (\exists x \in M $ sodass $ P(x)) \Lrarr \forall x \in M, \lnot P(x) $
            \end{itemize}
        
        \subsection{Mengen und Logik - Bitvektoren}
            Sei $ M := {x_1, \dots, x_n}, N \subseteq M $. Bitvektoren $ B_N := (b_1, \dots, b_n), b_j =  \begin{cases} &  1, \text{ falls } x_j \in N \\
            & 0, \text{ falls } x_j \not\in N \end{cases} $
            Seien $ K $ und $ L \subseteq M, L \cap K, L \cup K $, dann sind:
            \begin{itemize}
                \item $ B_{L\cap K} = B_L \land B_K $
                \item $ B_{L\cup K} = B_L \lor B_K $
                \item $ B_{L^0} = 1 - B_L $ (Bitinversion)
                \item $ \overline{L} = M \backslash L $
                \item $ L^0 = M \backslash L $
            \end{itemize}   
            \anm Die Anzahl aller möglichen Teilmengen von $ M = \{x_1, \dots, x_n\} $ (bei endlicher Potenzmenge) ist äquivalent zur Anzahl der Bitvektoren mit $ m $ Komponenten
            
        \subsection{Mächtigkeit}
            \cdef Zwei Mengen $ M $ und $ \Omega $ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung $ f:M \rarr \Omega $ gibt\\
            \ther
            \begin{enumerate}[a)]
                \item Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Mengen
                \item Endliche Mengen mit gleicher Anzahl an Elementen sind gleichmächtig
            \end{enumerate}
            \ex Sei $ M := \{x_1, \dots, x_n\} $\\
            $ |P(M)| = |P(B_M)| = 2^M $
        
        \subsection{Boolesche Algebra}
            Gegeben sei $ R $, eine Relation auf dem kartesischen Produkt $ M \times N = \{x_1,\dots, x_n\} \times \{y_1, \dots, y_n\} $
            \begin{figure}[tbh]
                \centering
                \includegraphics[width=0.8\linewidth]{ressources/46_Boolesche_Algebra_xi_R_yj}
                \caption{Die Relation $x_i R y_j$}
                \label{fig:Boolsche_Algebra}
            \end{figure}
            $ $\\\\
            Falls $ M = N $ ist $ m = n $
            \begin{itemize}
                \item für $ R $ reflexiv, ist $ b_{ij} = 1 $
                \item für $ R $ symmetrisch, ist $ b_{ij} = b_{ji} $
            \end{itemize}
            
            
\section{Zahlen}\label{zahlen}
    \subsection{Allgemein}
        Es wurden in der Vorlesung folgende Arten von Zahlen behandelt:
        \begin{itemize}
            \item natürliche Zahlen $\mathbb{N} := \{0, 1, 2, 3, ...\}$
            \item ganze Zahlen $\mathbb{Z} := \{..., -1, 0, 1, ...\}$
            \item rationale Zahlen $\mathbb{Q}:=\{x = \frac{a}{b} | a, b \in \mathbb{Z}\}$
            \item reele Zahlen $\mathbb{R}$: z.B. $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$
            \item komplexe Zahlen $\mathbb{C} := \{z = x + \sqrt{-1} \cdot y\ |\ x, y \in \mathbb{R}\}$
        \end{itemize}
    \subsection{Natürliche Zahlen}
    
        \subsubsection{Peano-Axiome}
            Definition der natürlichen Zahlen durch Peano:
            \begin{enumerate}
                \item $0 \in \N$
                \item es gibt eine Nachfolgerabbildung $succ: \N \rightarrow \N \backslash \{0\}$
                \item $succ$ ist injektiv
                \item Ist $M \subseteq \N$ mit
                    \begin{enumerate}[i.]
                        \item $0 \in M$
                        \item $m \in M \Rightarrow succ(m) \in M \forall m \in M$
                    \end{enumerate}
                    so gilt $M= \N$.
            \end{enumerate}

    \subsection{Gruppen}\label{zahlen:gruppen}
        Eine nichtleere Menge $G$ mit einer Verknüpfung $\circ$ heißt Gruppe,
        wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:
        \begin{enumerate}
            \item Assoziativität von $\circ$, also $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \; \forall a,b,c \in G$
            \item Es existiert ein neutrales Element $e$, für das gilt: $e \in G: a \circ e =a \; \forall a \in G$
            \item Zu jedem Element gibt es ein Inverses $a^{-1}$, für das gilt: $a \circ a^{-1} = e$
        \end{enumerate}
        Gilt darüber hinaus die \emph{Kommutativität}
        \[a \circ b = b \circ a \forall a,b \in G \]
        heißt die Gruppe abelsch oder kommutativ.\\
        \ex
        \begin{itemize}
            \item $(\Z,+),(\Q,+),(\R,+),(\C,+)$ sind Gruppen
            \item $(\Z,\cdot) $ ist keine Gruppe (inverses Element ist nicht in $ \Z $)
            \item $(\Q\backslash\{0\},\cdot) $ und $ (\R\backslash\{0\},\cdot)$ sind abelsche Gruppen
        \end{itemize}
    
        \textbf{Fakt:} Seien $ (G, \cdot) $ und $ (H, *) $ Gruppen. Dann ist $ (G \times H, 0) $ mit $ (g,h) (\in (G\times H)) \circ (g',h')  (\in (G\times H))  = (g \cdot g', h*h') $ eine Gruppe 
        
        \subsubsection{Identitätsfunktion}
            TODO
        
        \subsubsection{Satz: Eigenschaften von Gruppen}
        In jeder Gruppe gilt:\footnote{Beweise gab es in der VL, zu finden in den Notizen zu Gruppen im studIP}
        \begin{enumerate}[a.)]
            \item $ \exists ! e \in G $ (Gruppe enthält genau ein neutrales Element)
            \item $ \forall a \in G $ gilt $ a * e = a $ 
            \item $ \forall a \in G, \exists! a' $ mit $ a' * a = e $ (es existieren alle inversen Elemente)
            \item $ a' * a  = e \Rarr a * a' = e $
            \item $ a * b = a * c \Rightarrow b = c $ und $ b * a = c * a \Rarr b = c $
        \end{enumerate}
        \subsubsection{Definition: Untergruppen}
        Eine Teilmenge $ U \subset G $ einer Gruppe $ (G, *) $ heißt \idx{Untergruppe} von G, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
        \begin{itemize}
            \item $ U \neq \emptyset $
            \item $ a,b \in U \Rarr a * b \in U $
            \item $ a \in U \Rarr a^{-1} \in U $
        \end{itemize}
    
        \subsubsection{Definition: Gruppenhomomorphismus}
            \textbf{i)} Eine Abbildung $ f:G\rarr H $ zwischen $ (G, *) $ und $ (H, \circ) $ heißt \idx{Gruppenhomomorphismus}, wenn $ \forall a,b \in G $ stets $ f(a*b) = f(a) \circ f(b) $ gilt.\\
            \textbf{ii)} Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus heißt \idx{Isomorphismus}. Falls $ f: G \rarr H $ ein Isomorphismus ist, schreibt man $ f:G \tilde{\rarr} H$.
            
        \subsubsection{Definition: Zyklen}
            Eine Gruppe heißt \idx{zyklisch}, wenn es ein $ g \in G $ gibt, sodass $ <g> := \{g^k | k \in \Z \} = \{\dots,g^{-2}, g^{-1}, e, g^1, g^2, \dots\} $
            
        \subsubsection{Satz: Untergruppe von $\Z$}
            Zu jeder Untergruppe $ U \in \Z $ von $ (\Z,+) \exists $ ein $ n \in \Z $ mit $ U = n\Z$
            
            
            
            
\section{Vektorräume}\label{vektorraum}
    \subsection{Vektorraum}\label{vektorraum:def}
        Eine nichtleere Menge $V$ heißt Vektorraum über einem Körper $\K$, wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:\\
        \emph{Addition}
        \begin{alignat}{2}
            (u + v) + w &= u + (v+w) \;&& \forall u,v,w \in V\\
            u + v &= v + u \; && \forall u,v \in V\\
            u + 0 &= u \; &&\forall u, v \in V \\
            v + (-v) &= 0 \; && \forall v \in V
        \end{alignat}
        \emph{Skalarmultiplikation}:
        \begin{alignat}{2}
            (\alpha \cdot \beta) \cdot v &= \alpha \cdot (\beta \cdot v )\\
            \alpha \cdot (u+v) &= \alpha \cdot u + \alpha \cdot v \\
            (\alpha \cdot \beta) \cdot v & = \alpha \cdot(\beta \cdot v)\\
            1 \cdot v &= v
        \end{alignat}

        \subsubsection{Basis}
        Minimale Menge der Einheitsvektoren\footnote{Ein Vektor der Länge Eins,
        \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitsvektor}}, mit denen alle anderen Vektoren
        erzeugt werden können. Die Vektoren untereinander sind linear unabhängig.
        Beispiel für $\R^2$:
        \[\left\{\colvec{1}{0},\colvec{0}{1} \right\} \]

    \subsection{Untervektorraum}\label{vektorraum:unterraum}
        Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $\K$.
        Dann ist $U \subset V$ ein Untervektorraum, wenn gilt:
        \begin{enumerate}
            \item $U$ ist nicht leer, also muss mindestens $\colvec{0}{0} \in U$ gelten.
            \item Die Addition muss abgeschlossen sein.
            \item Die Skalarmultiplikation muss abgeschlossen sein.
        \end{enumerate}
    \subsection{Kombinationen}\label{vektorraum:kombination}
        Voraussetzungen für die nächsten Definitionen:
        Seien $v_1, \dots, v_m$ Elemente eines Vektorraums $V$ über einem Skalarenkörper $\K$,
        und es sei $\alpha := (\alpha_1, \dots, \alpha_m)$ ein m-Tupel aus $\K^m$ für ein $m\in \N \backslash \{0\}$.
        \subsubsection{Linearkombination}
        Eine Linearkombination ist eine Vektoraddition, bei der jeder Vektor einer Menge $V$ zunächst mit einem Skalar $\alpha$ multipliziert wird.
        \[\sum_{j=1}^{m} \alpha_j \cdot v_j \]
        \subsubsection{Affinkombination}
        Wenn außerdem gilt, dass die Summe aller Koeffizienten $1$ ergibt, also
        \[\sum_{j=1}^{m} \alpha_j = 1\]
        dann spricht man von einer \emph{Affinkombination}.
        \subsubsection{Konvexkombination}
        Wenn darüber hinaus $\K = \R$ ist und
        \[\alpha_j \in [0,1] \; \forall j, 1\le j \le m \]
        gilt, spricht man von einer \emph{Konvexkombination}.
        Vergleiche zum Verständnis für Konvex die Definition auf Wikipedia\footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_Menge}}


\vspace{\fill}
\doclicenseThis{}
\end{document}