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\documentclass[a4paper,parskip=half,12pt]{scrartcl}
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\input{../env/packages}
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\input{../env/commands}
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\input{../env/meta}
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\begin{document}
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\renewcommand{\thepage}{\Roman{page}}% Roman numerals for page counter
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\title{Zusammenfassung Diskrete Mathematik}
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\maketitle
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\section*{Vorwort}
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Dieses Dokument dient zur kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Sätze und Definitionen.
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Ich füge hier nur nach Lust und Laune Dinge ein, so dass dies in keinster Weise als vollständig oder stets korrekt angesehen werden darf.
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Die Quelldateien sind öffentlich unter \url{https://git.webschneider.org/uni/sammlung} einsehbar.
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Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
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\tableofcontents
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\vspace*{\fill} % show license on bottom of page
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\doclicenseThis{}
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\clearpage
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\setcounter{page}{1}
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\renewcommand{\thepage}{\arabic{page}}% Arabic numerals for page counter
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\section{Abbildungen}
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Man beachte auch das \href{https://git.webschneider.org/uni/sammlung/src/master/MafIA1/mafia.pdf}{Mafia-Skript}.
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\subsection{Kompositionen}
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Kompositionen von Funktionen sind \emph{assoziativ}.
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Sei $f: X \rightarrow Y$ eine Funktion:
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\begin{enumerate}[i.]
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\item $f $ ist injektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $g \circ f = id_x$
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\item $f$ ist surjektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $f \circ g = id_y$
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\item $f$ ist bijektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $g \circ f = id_x, f \circ g = id_y$
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\end{enumerate}
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\subsection{Umkehrfunktion}\label{abb:umkehr}
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Seien $X,Y$ Mengen und die Abbildungen $f: X \rightarrow Y$ eine Bijektion.
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Dann gibt es eine eindeutige Funktion $g:Y \rightarrow X$ mit $g(y)=x$, wobei
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$f^{-1}(y) = \{x\}$.
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Diese wird \idx{Umkehrfunktion} oder \idx{Inverse} von $f$ bezeichnet.
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\section{Zählen und Kombinatorik}
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\subsection{Schubfachprinzip}\label{kombi:schubfach}
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Das Schubfachprinzip besagt, wenn $m$ Objekte in $n$ Kategorien (\emph{Schubfächer}\index{Schubfach})
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eingeteilt werden, gibt es mindestens eine Kategorie, in der mindestens
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zwei Objekte eingeteilt sind.
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\subsection{Zählformen}\label{kombi:counting}
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Bei endlichen Mengen gibt $|A|$ die Anzahl der Elemente (\idx{Kardinalität}) an.
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\subsubsection{Summenformel und Produktformel}
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Bei endlichen Mengen $A,B$ gilt die \idx{Summenformel}:
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\[|A\cup B| = |A|+|B| - |A \cap B| \]
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Ausserdem gilt die \idx{Produktformel}, auch für eine endliche Menge
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von Mengen:
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\[|A \times B| = |A| \cdot |B| \]
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\subsubsection{Binomialkoeffizient}\label{kombi:binomial}
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Der \idx{Binomialkoeffizient}
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dient dazu, die möglichen Kombinationen von $k$ Objekten aus insgesamt
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$n$ verschiedenen Elementen zu ermitteln.
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Dabei ist die Reihenfolge unerheblich und es wird nicht zurückgelegt.
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Die Definition ist wie folgt:
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\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
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\begin{satz}
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Seien $k, n \in \N$. Dann gilt:
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\[\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}\]
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\end{satz}
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\subsubsection{Binomialsatz}\label{kombi:binomsatz}
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Seien $x, y \in \R$ und $n \in \N$. Es gilt:
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\[{(x+y)}^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \]
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\begin{satz}
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\begin{enumerate}
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\item \[\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n, \; \forall k,n \in \N_0\]
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\item \[\sum_{k=0}^n {(-1)}^k \binom{n}{k} = \binom{n}{0} - \binom{n}{1}
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+ \binom{n}{2} \ldots = 0\]
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\subsubsection{Siebformel}\label{kombi:sieb}
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Mithilfe der \idx{Siebformel} kann die Kardinalität einer Menge durch
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die Kardinalitäten ihrer Teilmengen bestimmt werden.
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\[|A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_s| = \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 - \alpha_4 \pm \ldots + {(-1)}^{s-1}\cdot \alpha_s \]
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Dabei werden die $\alpha$ berechnet, indem man den Durchschnitt von je $i$ Mengen
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bildet und deren Mächtigkeit summiert.
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\subsubsection{Permutationen}\label{kombi:perm}
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Eine \idx{Permutation} von $n \in \N$ Elementen $\pi:\{1, \ldots, n\} \mapsto \{1, \ldots, n\}$
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ist eine Bijektion.
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Ein Element $k$ daraus heißt \idx{Fixpunkt}, wenn $\pi(k) = k$ ist.
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\paragraph{Anzahl der Permutationen}
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Von $n$ Elementen gibt es genau $n!{}$ Permutationen, und ${(n-1)}!{}$ Permutationen
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mit dem Fixpunkt $k$.
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Die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen ist
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\[n!\frac{n!}{1!} + \frac{n!}{2} - \frac{n!}{3!} + \cdots + {(-1)}^n\frac{n!}{n!} = \sum_{k=0}^{n} {(-1)}^k \frac{n!}{k!} \]
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\newcommand*{\fkn}{f: \{1, \ldots, k\} \rightarrow{} \{1, \ldots, n\}}
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\begin{satz}
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Die Anzahl der nicht-surjektiven Abbildungen $ \fkn$ ist gleich
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\[\sum_{m=1}^k {(-1)}^{m-1} \binom{n}{m} (n-m). \] Die Anzahl
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der Surjektionen beträgt
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\[\sum_{m=0}^n {(-1)}^m \binom{n}{m} {(n-m)}^k \]
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\end{satz}
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\subsubsection{Kombination mit Wiederholung}\label{kombi:mitWiederholung}
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Wenn die Reihenfolge egal ist und Wiederholungen erlaubt sind, wird
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eine angepasste Version des Binomialkoeffizienten genutzt:
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\[ \binom{n+k-1}{k} \]
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\subsubsection{Wann nehme ich was?}\label{kombi:wannwas}
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\begin{tabular}{ll}
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\textbf{Reihenfolge egal, ohne Zurücklegen} & \nameref{kombi:binomial}\\
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\textbf{Reihenfolge egal, mit Zurücklegen} & \nameref{kombi:mitWiederholung}\\
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\end{tabular}
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\section{Rekursion}
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\subsection{Lineare Rekursion}
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Angenommen $T : \N_0 \rightarrow \R $ erfüllt die \idx{lineare Rekursion}
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\begin{align*}
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T(n) &= r \cdot T(n-1) + a, \; a,r \in \R, n \in \N\\
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T(0) &= b.
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\end{align*}
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Dann ist die Lösung:
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\begin{align*}
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T(n) &= r^n T(1) + a \sum_{i=0}^{a-1} r^i, \; n \in \N_0, r = 1 \\
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T(n) &= r^a T(1) + a \frac{1-r^n}{1-r}, \text{\ für } r \ne 1
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\end{align*}
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\subsubsection{Geometrische Summenformel}
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Es gilt:
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\[ \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \]
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\subsection{Wachstum von Funktionen}
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Seien $f,g : \N_0 \rightarrow \R$.\\
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\idx{Abschätzung nach oben}\\
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Eine Funktion kann nach oben asymptotisch abgeschätzt werden, wenn
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$\exists c > 0$, s.d. $|f(n)| \le c \cdot |g(n)|, \text{\ für } n \ge n_0$.
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Man schreibt dann $f(n) = O(g(n))$, $O(g(n))$ enthält also alle Funktionen,
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durch die $f(n)$ nach oben asymptotisch abgeschätzt wird.
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\idx{Abschätzung nach unten}\\
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Wenn $\exists c > 0$, so dass $|f(n)| \ge c \cdot |g(n)|$, schreibt man
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$f(n) = \Omega(g(n))$. So wächst $f(n)$ also schneller als $g(n)$.
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\idx{Abschätzung nach oben und unten}
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Die Kombination von $O$ und $\Omega$ heißt $\Theta$.
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Also ist $f(n) = \Theta$, wenn $\exists c_1, c_2$, so dass
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$c_1 \cdot |g(n)| \le |f(n)| \le |c_2 \cdot g(n)|$.
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\subsection{Master-Theorem}
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Das \idx{Master-Theorem} lässt sich auf Rekursionen der folgenden Struktur
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anwenden:
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\begin{alignat*}{2}
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T(n) &= a \cdot T\left(\ceil{\rfrac{n}{b}}\right) + c(n) \; &&, n > n_0\\
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T(n) &= \Theta(1) &&, n \le n_0
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\end{alignat*}
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$c$ muss dabei monoton wachsend sein. Nun gilt:
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\begin{enumerate}
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\item Ist $c(n) = \O\left(n^{\log_b a - \epsilon}\right)$ für ein
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$\epsilon $ mit $ 0 < \epsilon < \log_b a$, so ist
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\[T(n) = \O\left(n^{\log_b a}\right)\]
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\item Ist $c(n) = \Theta(n^{\log_b a})$, so ist
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\[T(n) = \Theta\left(n^{\log_b a} \cdot \log_b n\right)\]
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\item Erfüllt $c$ die Bedingung $\exists \gamma \in (0, 1)$, so dass
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$ac(\ceil{\frac{n}{b}}) \le \gamma c(n)$ für ein hinreichend großes
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$n$ und ist $c(n) = \Omega\left(n^{\log_b a + \epsilon}\right)$, so
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ist
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\[T(n) = \Theta\left(c\left(n\right)\right)\]
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\end{enumerate}
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Zahlreiche Übungen lassen sich im Internet
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finden\footnote{\url{http://www.csd.uwo.ca/~moreno/CS433-CS9624/Resources/master.pdf}}.
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\section{Graphentheorie}
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\subsection{Ungerichtete Graphen}
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\subsubsection{Kreis}\label{graph:kreis}
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Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken
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$e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet.
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Alle Kanten müssen dabei unterschiedlich sein.
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Die Länge des Kreises beschreibt die Anzahl der Kanten oder Ecken.
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\subsubsection{Eulerscher Kreis}\label{graph:eulerschKreis}
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Ein \nameref{graph:kreis} $C$ in einem Graph $G$ heißt eulersch, wenn
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jede Kante aus G in ihm genau einmal vorkommt.
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\subsubsection{Eulerscher Graph}\label{graph:eulersch}
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Ein Graph heißt eulersch, wenn er einen \hyperref[subsec:eulerschKreis]{eulerschen Kreis} besitzt.
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Jede Ecke eines eulerschen Graphen hat geraden Grad.
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Besitzt also eine Ecke des Graphen ungeraden Grad, so ist es kein eulerscher Graph.
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\subsubsection{Zusammenhangskomponente}\label{graph:komponente}
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Ein maximaler, zusammenhängender Teilgraph $G^*$ eines Graphen $G$.
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\subsubsection{Offene Eulersche Linie}
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Ein Weg in einem Graph $G$ heißt \idx{offene Eulersche Linie}, wenn
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jede Kante genau einmal enthalten ist und \emph{keinen} Kreis enthält.
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\begin{satz}
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Sei $G$ ein Graph.
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\begin{enumerate}
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\item Besitzt $G$ eine offene eulersche Linie, so hat $G$
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genau zwei Ecken ungeraden Grades.
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\item Ist $G$ zusammenhängend und hat genau zwei Ecken ungeraden
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Grades, so hat $G$ eine offene eulersche Linie.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{satz}
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Ein Graph $G$ ist genau dann bipartit, wenn alle Kreise in $G$ eine
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gerade Länge haben.
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\end{satz}
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\subsection{Bäume}
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\subsubsection{Definition}
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Ein \idx{Baum} ist ein zusammenhängender Graph $G$, der keine Kreise
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positiver Länge enthält. Als \idx{Blatt} wird eine Endecke mit Grad 1
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bezeichnet.
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\begin{satz}
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Jeder Baum mit mindestens 2 Ecken hat eine Endecke.
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\end{satz}
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\begin{satz}
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Ist $G$ ein Baum mit $n$ Ecken und $m$ Kanten, so ist $m = n-1$
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\end{satz}
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\begin{satz}
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Sei $G$ ein zusammenhängender Graph mit $n$ Ecken und $M$ Kanten.
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Dann ist $m \ge n- 1 $ mit Gleicheit genau dann, wenn $G$ ein Baum
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ist.
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\end{satz}
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\subsubsection{Binärer Baum}
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Ein \idx{binärer Baum} ist ein Baum $G$ mit den Eigenschaften
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\begin{enumerate}[i.]
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\item Es gibt eine eindeutige Ecke \idx{Wurzel}, mit dem Grad 2
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\item alle andere Ecken haben entweder den Grad 3 oder 1 (Blätter).
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\end{enumerate}
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Die Höhe des Baumes ist die maximale Länge eines Weges, der die Wurzel
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als eine Endecke hat.
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\begin{satz}
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\begin{enumerate}
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\item Ein binärer Baum der Höhe $h$ hat höchstens $2^h$ Blätter.
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\item Ein binärer Baum $G$ mit $b$ Blättern hat die Höhe
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$h \ge \ceil{\log_2 b} $
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\subsection{Wurzelbaum und Suchtheorie}
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\newcommand*{\T}{\mathcal{T}}
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\newcommand*{\Lquer}{\overline{L}}
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\subsubsection{Wurzelbaum}
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Ein \idx{Wurzelbaum} ist ein Paar $(T,v)$, wobei $T$ ein Baum ist und
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$v$ eine ausgezeichnete Ecke, als so genannte \idx{Wurzel}.\\
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Die \idx{Länge einer Ecke} $l(e), e \in E$ bezeichnet den eindeutigen Weg
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von $v$ nach $e$.
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Die Länge des gesamten Baumes ist die maximale Länge einer Ecke.
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\subsubsection{(n, q)-Baum}
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Besitzt ein Baum $n$ Blätter und hat die Wurzel höchstens $q$ direkte
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Nachfolger, spricht man von einem \idx{(n,q)-Baum}.
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Besitzt die Wurzel und jede innere Ecke genau $q$ direkte Nachfolger,
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ist dies ein \idx{vollständiger (n, q)-Baum}
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\begin{satz}
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Sei $T$ ein (n, q)-Baum, wobei $n \ge 1, q \ge 2$.
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Dann ist $l(T) = \ceil{\log_q n}$
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\end{satz}
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\subsubsection{Informationstheoretische Schranke}
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Die Menge $\T (n,q)$ beschreibt alle (n, q)-Bäume.
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Die Zahl $\log_q n = \min\{l(T)|T\in \T(n,q)\}$ heisst die
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\idx{informationstheoretische Schranke} bzgl. (n, q).
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\subsubsection{Die Kraftsche Ungleichung}
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\begin{enumerate}
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\item Sei $T$ ein (n, q)-Baum mit Blättern $1, \ldots, n$ der Längen
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$l_1, l_2, \ldots, l_n \in \N_0$. Dann ist $\sum_{i=1}^n
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q^{-l_i} \le 1$ und die Gleicheit gilt genau dann, wenn $T$
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vollständig ist.
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\item Sind $l_1, \ldots, l_n \in \N_0$, so dass $\sum_{i=1}^n
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q^{-l_i} \le 1$, so existiert ein (n,q)-Baum mit Blättern $b_1,
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\ldots, b_n$, so dass $l(b_i) = l_i, i=1,\ldots,n$
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\end{enumerate}
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\subsubsection{Erwartete Länge}
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Sei $T$ ein (n,q)-Baum mit den Blättern $1, \ldots, n$ und sei $l_i =
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l(i)$ die Länge des i-ten Blattes.
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Sei weiter $(p_1, \ldots, p_n) \in \R^n$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
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auf den Blättern, d.h. $p_i \in [0,1]$ für $i = 1, \ldots, n$ und
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$\sum_{i=0}^n p_i = 1$.
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Die \idx{erwartete Länge} $\Lquer(T)$ von $T$ ist definiert als
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\[\Lquer (T) = \sum_{i=1}^n p_i l_i.\]
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Weiter sei
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\[\Lquer (p_1, \ldots, p_n) := \min \left\{\Lquer(t) | T \in \T(n,q)\right\}\]
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Ein Baum heißt \idx{optimal}, falls
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$\Lquer(T) = \Lquer(p_1, \ldots, p_n)$
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\subsubsection{Der Hauptsatz der Informationstheorie}
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Sei $n \ge 1$ und sei $q \ge 2$. Sei weiter $(p_1, \ldots, p_n)$ eine
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Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\{1, \ldots, n\}$.
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Dann gilt
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\[- \sum_{i=1}^n p_i \log_q p_i \le \Lquer (p_1, \ldots, p_n)
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\le - \sum_{i=1}^n p_i \log_q p_i + 1, \]
|
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wobei $0 \cdot \log_q 0$ als $0$ zu interpretieren ist.
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(Da $\linf x \cdot \log_q x = 0$)
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\subsection{Der Huffman-Algorithmus}
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\subsubsection{Vorbereitungen}
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Sei $n \ge 1, q\ge 2$ Sei $(p_1, \ldots, p_n)$ eine
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Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\{1, \ldots, n\}$, so dass
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$p_1 \ge p_2\ge p_n \ge 0$. Dann existiert ein optimaler (n, q)-Baum $T$
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für $(p_1, \ldots, p_n)$, so dass
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|
\begin{enumerate}
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\item für die Blätter $b_1, \ldots, b_n$ gilt $l(b_1) \le l(b_2) \le
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l(b_n)$. Weiter sind die letzten $q$ Blätter $b_{n-q+1}, \ldots,
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b_n$ von der maximalen Länge $L(T)$.
|
|
\item $T$ ist vollständig.
|
|
\end{enumerate}
|
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\printindex
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\end{document}
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