\documentclass[a4paper,parskip=half,12pt]{scrartcl}
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\begin{document}

\title{Zusammenfassung Diskrete Mathematik}

\maketitle

\section*{Vorwort}
Dieses Dokument dient zur kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Sätze und Definitionen.
Ich füge hier nur nach Lust und Laune Dinge ein, so dass dies in keinster Weise als vollständig oder stets korrekt angesehen werden darf.
Die Quelldateien sind öffentlich unter \url{https://git.webschneider.org/uni/sammlung} einsehbar.
Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
\tableofcontents
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\section{Abbildungen}
    Man beachte auch das \href{https://git.webschneider.org/uni/sammlung/src/master/MafIA1/mafia.pdf}{Mafia-Skript}.

    \subsection{Kompositionen}
    Kompositionen von Funktionen sind \emph{assoziativ}.

    Sei $f: X \rightarrow Y$ eine Funktion:
    \begin{enumerate}[i.]
        \item $f $ ist injektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $g \circ f = id_x$
        \item $f$ ist surjektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $f \circ g = id_y$
        \item $f$ ist bijektiv $\lrarr \exists g: Y \rightarrow X$, sodass $g \circ f = id_x, f \circ g = id_y$
    \end{enumerate}

    \subsection{Umkehrfunktion}\label{abb:umkehr}
    Seien $X,Y$ Mengen und die Abbildungen $f: X \rightarrow Y$ eine Bijektion.
    Dann gibt es eine eindeutige Funktion $g:Y \rightarrow X$ mit $g(y)=x$, wobei
    $f^{-1}(y) = \{x\}$.
    Diese wird \idx{Umkehrfunktion} oder \idx{Inverse} von $f$ bezeichnet.

\section{Zählen und Kombinatorik}
    \subsection{Schubfachprinzip}\label{kombi:schubfach}
    Das Schubfachprinzip besagt, wenn $m$ Objekte in $n$ Kategorien (\emph{Schubfächer}\index{Schubfach})
    eingeteilt werden, gibt es mindestens eine Kategorie, in der mindestens
    zwei Objekte eingeteilt sind.

    \subsection{Zählformen}\label{kombi:counting}
        Bei endlichen Mengen gibt $|A|$ die Anzahl der Elemente (\idx{Kardinalität}) an.

        \subsubsection{Summenformel und Produktformel}
        Bei endlichen Mengen $A,B$ gilt die \idx{Summenformel}:
        \[|A\cup B| = |A|+|B| - |A \cap B| \]
        Ausserdem gilt die \idx{Produktformel}, auch für eine endliche Menge
        von Mengen:
        \[|A \times B| = |A| \cdot |B| \]

        \subsubsection{Binomialkoeffizient}\label{kombi:binomial}
        Der \idx{Binomialkoeffizient}
        dient dazu, die möglichen Kombinationen von $k$ Objekten aus insgesamt
        $n$ verschiedenen Elementen zu ermitteln.
        Dabei ist die Reihenfolge unerheblich und es wird nicht zurückgelegt.
        Die Definition ist wie folgt:
        \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]

        \subsubsection{Binomialsatz}\label{kombi:binomsatz}
        Seien $x, y \in \R$ und $n \in \N$. Es gilt:
        \[{(x+y)}^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \]

        \subsubsection{Siebformel}\label{kombi:sieb}
        Mithilfe der \idx{Siebformel} kann die Kardinalität einer Menge durch
        die Kardinalitäten ihrer Teilmengen bestimmt werden.
        \[|A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_s| = \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 - \alpha_4 \pm \ldots + {(-1)}^{s-1}\cdot \alpha_s \]
        Dabei werden die $\alpha$ berechnet, indem man den Durchschnitt von je $i$ Mengen
        bildet und deren Mächtigkeit summiert.

        \subsubsection{Permutationen}\label{kombi:perm}
        Eine \idx{Permutation} von $n \in \N$ Elementen $\pi:\{1, \ldots, n\} \mapsto \{1, \ldots, n\}$
        ist eine Bijektion.
        Ein Element $k$ daraus heißt \idx{Fixpunkt}, wenn $\pi(k) = k$ ist.

        \paragraph{Anzahl der Permutationen}
        Von $n$ Elementen gibt es genau $n!{}$ Permutationen, und ${(n-1)}!{}$ Permutationen
        mit dem Fixpunkt $k$.
        Die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen ist
        \[n!\frac{n!}{1!} + \frac{n!}{2} - \frac{n!}{3!} + \cdots + {(-1)}^n\frac{n!}{n!} = \sum_{k=0}^{n}{(-1)}^k\frac{n!}{n!} \]

        \subsubsection{Kombination mit Wiederholung}\label{kombi:mitWiederholung}
        Wenn die Reihenfolge egal ist und Wiederholungen erlaubt sind, wird
        eine angepasste Version des Binomialkoeffizienten genutzt:
        \[ \binom{n+k-1}{k} \]

        \subsubsection{Wann nehme ich was?}\label{kombi:wannwas}
        \begin{tabular}{ll}
            \textbf{Reihenfolge egal, ohne Zurücklegen} & \nameref{kombi:binomial}\\
            \textbf{Reihenfolge egal, mit Zurücklegen} & \nameref{kombi:mitWiederholung}\\
        \end{tabular}

\section{Rekursion}
    \subsection{Lineare Rekursion}
    Angenommen $T : \N_0 \rightarrow \R $ erfüllt die \idx{lineare Rekursion}
    \begin{align*}
        T(n) &= r \cdot T(n-1) + a, \; a,r \in \R, n \in \N\\
        T(1) &= b.
    \end{align*}
    Dann ist die Lösung:
    \begin{align*}
        T(n) &= r^n T(0) + a \sum_{i=0}^{a-1} r^2, \; n \in \N_0, r = 1 \\
        T(n) &= r^a T(0) + a \frac{1-r^n}{1-r}, \text{\ für } r \ne 1
    \end{align*}

    \subsection{Wachstum von Funktionen}
    Seien $f,g : \N_0 \rightarrow \R$.\\
    \idx{Abschätzung nach oben}\\
    Eine Funktion kann nach oben asymptotisch abgeschätzt werden, wenn
    $\exists c > 0$, s.d. $|f(n)| \le c \cdot |g(n)|, \text{\ für } n \ge n_0$.
    Man schreibt dann $f(n) = O(g(n))$, $O(g(n))$ enthält also alle Funktionen,
    durch die $f(n)$ nach oben asymptotisch abgeschätzt wird.

    \idx{Abschätzung nach unten}\\
    Wenn $\exists c > 0$, so dass $|f(n)| \ge c \cdot |g(n)|$, schreibt man
    $f(n) = \Omega(g(n))$. So wächst $f(n)$ also schneller als $g(n)$.

    \idx{Abschätzung nach oben und unten}
    Die Kombination von $O$ und $\Omega$ heißt $\Theta$.
    Also ist $f(n) = \Theta$, wenn $\exists c_1, c_2$, so dass
    $c_1 \cdot |g(n)| \le |f(n)| \le |c_2 \cdot g(n)|$.

\section{Graphentheorie}
    \subsection{Kreis}\label{graph:kreis}
    Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken $e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet.
    Alle Kanten müssen dabei unterschiedlich sein.
    Die Länge des Kreises beschreibt die Anzahl der Kanten oder Ecken.

    \subsection{Eulerscher Kreis}\label{graph:eulerschKreis}
    Ein \nameref{graph:kreis} $C$ in einem Graph $G$ heißt eulersch, wenn jede Kante aus G in ihm genau einmal vorkommt.

    \subsection{Eulerscher Graph}\label{graph:eulersch}
    Ein Graph heißt eulersch, wenn er einen \hyperref[subsec:eulerschKreis]{eulerschen Kreis} besitzt.
    Jede Ecke eines eulerschen Graphen hat geraden Grad.
    Besitzt also eine Ecke des Graphen ungeraden Grad, so ist es kein eulerscher Graph.

    \subsection{Zusammenhangskomponente}\label{graph:komponente}
    Ein maximaler, zusammenhängender Teilgraph $G^*$ eines Graphen $G$.

    \subsection{Wurzelbaum und Suchtheorie}
        \subsubsection{Wurzelbaum}
        Ein \idx{Wurzelbaum} ist ein Paar $(T,v)$, wobei $T$ ein Baum ist und 
        $v$ eine ausgezeichnete Ecke, als so genannte \idx{Wurzel}.\\
        Die \idx{Länge einer Ecke} $l(e), e \in E$ bezeichnet den eindeutigen Weg
        von $v$ nach $e$.
        Die Länge des gesamten Baumes ist die maximale Länge einer Ecke.

        \subsubsection{(n, q)-Baum}
        Besitzt ein Baum $n$ Blätter und hat die Wurzel genau $q$ direkte
        Nachfolger, spricht man von einem \idx{(n,q)-Baum}.
        Besitzt die Wurzel und jede innere Ecke genau $q$ direkte Nachfolger,
        ist dies ein \idx{vollständiger (n, q)-Baum}

        \newtheorem{satz}{Satz}[section]
        \begin{satz}
            Sei $T$ ein (n, q)-Baum, wobei $n \ge 1, q \ge 2$.
            Dann ist $l(T) = \log_q n$
        \end{satz}

        \subsubsection{Informationstheoretische Schranke}
        Die Menge $\Tau(n,q)$ beschreibt alle (n, q)-Bäume.
        Die Zahl $\log_q n = \min\{l(T)|T\in \Tau(n,q)\}$ heisst die 
        \idx{informationstheoretische Schranke} bzgl. (n, q).

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\end{document}
