Kombinatorik und Relationen

DiMa/dima.tex

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 \title{Zusammenfassung Diskrete Mathematik}
 
 \maketitle
+
+\section*{Vorwort}
+Dieses Dokument dient zur kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Sätze und Definitionen.
+Ich füge hier nur nach Lust und Laune Dinge ein, so dass dies in keinster Weise als vollständig oder stets korrekt angesehen werden darf.
+Die Quelldateien sind öffentlich unter \url{https://git.webschneider.org/uni/sammlung} einsehbar.
+Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
 \tableofcontents
 \bigskip
 
+\section{Kombinatorik}
+    \subsection{Binomialkoeffizient}\label{kombi:binomial}
+    Der \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient}{Binomialkoeffizient}
+    dient dazu, die möglichen Kombinationen von $k$ Objekten aus insgesamt
+    $n$ verschiedenen Elementen zu ermitteln.
+    Dabei ist die Reihenfolge unerheblich und es wird nicht zurückgelegt.
+    Die Definition ist wie folgt:
+    \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
+
+    \subsection*{Kombination mit Wiederholung}\label{kombi:mitWiederholung}
+    Wenn die Reihenfolge egal ist und Wiederholungen erlaubt sind, wird
+    eine angepasste Version des Binomialkoeffizienten genutzt:
+    \[ \binom{n+k-1}{k} \]
+
+    \subsection{Wann nehme ich was?}\label{kombi:wannwas}
+    \begin{tabular}{ll}
+        \textbf{Reihenfolge egal, ohne Zurücklegen} & \nameref{kombi:binomial}\\
+        \textbf{Reihenfolge egal, mit Zurücklegen} & \nameref{kombi:mitWiederholung}\\
+    \end{tabular}
+
 \section{Graphentheorie}
     \subsection{Kreis}\label{graph:kreis}
     Ein geschlossener Kantenzug mit $k_1, k_2, \dots, k_s$, der die Ecken $e_1, e_2,\ldots,e_s=e_0$ miteinander verbindet.
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     Besitzt also eine Ecke des Graphen ungeraden Grad, so ist es kein eulerscher Graph.
 
     \subsection{Zusammenhangskomponente}\label{graph:komponente}
-    Ein maximaler, zusammenhängender Teilgraph $G^*$ von eines Graphen $G$.
+    Ein maximaler, zusammenhängender Teilgraph $G^*$ eines Graphen $G$.
 
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MafIA1/mafia.tex

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 Dieses Dokument dient zur kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Sätze und Definitionen.
 Ich füge hier nur nach Lust und Laune Dinge ein, so dass dies in keinster Weise als vollständig oder stets korrekt angesehen werden darf.
 Die Quelldateien sind öffentlich unter \url{https://git.webschneider.org/uni/sammlung} einsehbar.
-Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beiteiligen!
+Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
 
 \tableofcontents
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@@ -44,6 +44,27 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beiteiligen!
             M \cup N = \{x : x \in M \lor x \in N\}
         \end{align}
 
+\section{Relationen}
+    Eine Relation ist zunächst eine Teilmenge beliebiger Mengen $M, N$.
+    Man schreibt für ein beliebiges Paar aus $(x,y) \in M \times N$ entweder
+    $xRy$ oder seltener $(x,y) \in R$.
+
+    \subsection{Eigenschaften}
+    Zur Beschreibung einer Relation gibt es folgende Eigenschaften, dazu
+    betrachten wir eine zweistellige Relation $R$ auf $M$:
+    \begin{table}[h]
+        \centering\label{relation:eigenschaften}
+        \begin{tabular}{rl}
+            \textbf{reflexiv} & $\forall x\in M $ gilt $xRx$, das Element steht also zu sich selbst in Relation.\\
+            \textbf{symmetrisch} & $\forall x,y \in M$ aus $xRy$ auch $yRx$ folgt. Die Reihenfolge ist also egal.\\
+            \textbf{transitiv} & $\forall x,y,z \in M$ und $xRy$ und $yRz$ folgt $xRz$.
+        \end{tabular}
+    \end{table}
+
+    \subsection{Äquivalenzrelation}\label{relationen:aequivalenz}
+    Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn alle Eigenschaften aus~\ref{relation:eigenschaften}
+    zutreffen.
+
 \section{Vektorräume}\label{vektorraum}
     \subsection{Vektorraum}\label{vektorraum:def}
         Eine nichtleere Menge $V$ heißt Vektorraum über einem Körper $\K$, wenn die folgenden Eigenschaften zutreffen:\\
@@ -75,10 +96,10 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beiteiligen!
         Seien $v_1, \dots, v_m$ Elemente eines Vektorraums $V$ über einem Skalarenkörper $\K$,
         und es sei $\alpha := (\alpha_1, \dots, \alpha_m)$ ein m-Tupel aus $\K^m$ für ein $m\in \N \backslash \{0\}$.
         \subsubsection{Linearkombination}
-        Eine Linearkombination ist eine Vektroaddition, bei der jeder Vektor einer Menge $V$ zunächst mit einem Skalar $\alpha$ multipliziert wird.
+        Eine Linearkombination ist eine Vektoraddition, bei der jeder Vektor einer Menge $V$ zunächst mit einem Skalar $\alpha$ multipliziert wird.
         \[\sum_{j=1}^{m} \alpha_j \cdot v_j \]
         \subsubsection{Affinkombination}
-        Wenn außerdem gilt, dass die Summe aller Koeffizienten 1 ergibt, also
+        Wenn außerdem gilt, dass die Summe aller Koeffizienten $1$ ergibt, also
         \[\sum_{j=1}^{m} \alpha_j = 1\]
         dann spricht man von einer \emph{Affinkombination}.
         \subsubsection{Konvexkombination}