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MafIA1/mafia.tex

@@ -254,6 +254,14 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
 				\item Beweis durch vollstaendige Induktion
 			\end{enumerate}
 		
+			\paragraph{Induktionsbeweis:}
+				$ $\\Grundsätzliches Schema:\\
+				Sei $ P: \N \rarr B $ ein Prädikat auf $ \N $ ($P(n)$ ist wahr oder falsch $ \forall n \in \N $). Dann ist folgendes zu zeigen:
+				\begin{enumerate}[1.]
+					\item Induktionsanfang: $ P(0) $ ist wahr
+					\item $ \forall n \in \N$ gilt: Aus $ P(n) $ ist wahr $ \rarr P(succ(n)) $ ist wahr.
+				\end{enumerate}
+				Dann folgt: $ P $ ist allgemeingültig über $ \N $, d.h. $ P(n) $ ist wahr $ \forall n\in \N $\footnote{Beispiele zur Induktion gibts auf den Übungsblättern oder im Skript}
 		\subsection{Boolesche Funktionen}
 			Sei $ B := \{0,1\} $. Dann existiert eine Abbildung $ f: B^n \rarr B $.\\
 			\ex $ f(A) = \lnot(A) $ 
@@ -313,7 +321,17 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
 			
 			
 \section{Zahlen}\label{zahlen}
+	\subsection{Allgemein}
+		Es wurden in der Vorlesung folgende Arten von Zahlen behandelt:
+		\begin{itemize}
+			\item natürliche Zahlen $\mathbb{N} := \{0, 1, 2, 3, ...\}$
+			\item ganze Zahlen $\mathbb{Z} := \{..., -1, 0, 1, ...\}$
+			\item rationale Zahlen $\mathbb{Q}:=\{x = \frac{a}{b} | a, b \in \mathbb{Z}\}$
+			\item reele Zahlen $\mathbb{R}$: z.B. $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$
+			\item komplexe Zahlen $\mathbb{C} := \{z = x + \sqrt{-1} \cdot y\ |\ x, y \in \mathbb{R}\}$
+		\end{itemize}
     \subsection{Natürliche Zahlen}
+    
         \subsubsection{Peano-Axiome}
             Definition der natürlichen Zahlen durch Peano:
             \begin{enumerate}
@@ -338,7 +356,17 @@ Jeder ist dazu aufgerufen, sich an der Entwicklung zu beteiligen!
         \end{enumerate}
         Gilt darüber hinaus die \emph{Kommutativität}
         \[a \circ b = b \circ a \forall a,b \in G \]
-        heißt die Gruppe abelsch oder kommutativ.
+        heißt die Gruppe abelsch oder kommutativ.\\
+        \ex
+        \begin{itemize}
+        	\item $(\Z,+),(\Q,+),(\R,+),(\C,+)$ sind Gruppen
+        	\item $(\Z,\cdot) $ ist keine Gruppe (inverses Element ist nicht in $ \Z $)
+        	\item $(\Q\backslash\{0\},\cdot) $ und $ (\R\backslash\{0\},\cdot)$ sind abelsche Gruppen
+        \end{itemize}
+    
+    	\textbf{Fakt:} Seien $ (G, \cdot) $ und $ (H, *) $ Gruppen. Dann ist $ (G \times H, 0) $ mit $ (g,h) (\in (G\times H)) \circ (g',h')  (\in (G\times H))  = (g \cdot g', h*h') $ eine Gruppe 
+    	
+    	\subsubsection{Identitätsfunktion}
 
 \section{Vektorräume}\label{vektorraum}
     \subsection{Vektorraum}\label{vektorraum:def}

env/commands.tex

@@ -4,6 +4,7 @@
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
 \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
 \newcommand{\K}{\mathbb{K}}
+\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
 \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
 
 \newcommand{\Rq}{\R^2}